Теорема Крамера о разложении нормального распределения

Теорема Крамера о разложении нормального распределения — утверждение в теории вероятности. Хорошо известно, что если случайные величины $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ независимы и нормально распределены, то их сумма также нормально распределена. Оказывается, что верно и обратное утверждение. Этот результат, предугаданный П. Леви[1] и доказанный Крамером[2], привел к возникновению нового направления в теории вероятностей — теории разложений случайных величин на независимые слагаемые (арифметики вероятностных распределений)[3].

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение и представима в виде суммы двух независимых случайных величин $\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$ . Тогда $\xi _{1}$ и $\xi _{2}$ также нормально распределены.

Доказательство теоремы Крамера о разложении нормального распределения использует теорию целых функций.

Литература

Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402
Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.
Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов.. — Москва: Наука, 1972.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402

[2] Cramer, Harald. Uber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. // Math. Z.. — 1936. — Т. 41, № 1. — С. 405-114.

[3] Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов.. — Москва: Наука, 1972.