Теорема Каратеодори — Тёплица

Теорема Каратеодори — Тёплица — теорема математического анализа, названная в честь математиков Константина Каратеодори и Отто Тёплица:

Пусть ${\displaystyle \Delta$ :=\{z\,:\,|z|<1\}}  — единичный круг в комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Множество всех функций ${\displaystyle h(z)}$ с положительной в ${\displaystyle \Delta }$ вещественной частью и нормировкой ${\displaystyle h(0)=1,}$ отображающих круг ${\displaystyle \Delta }$ в правую полуплоскость называется классом Каратеодори и обозначается через ${\displaystyle C.}$

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов ${\displaystyle (\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ на классе ${\displaystyle C.}$

Множество значений системы коэффициентов ${\displaystyle (\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ на классе ${\displaystyle C}$ есть замкнутое выпуклое ограниченное множество ${\displaystyle K_{n}}$ точек ${\displaystyle n}$-мерного комплексного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ для которых определители

${\displaystyle \det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k}},\qquad 1\leqslant k\leqslant n,}$

где

${\displaystyle a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{j-i},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij}}},\quad j<i,}$

либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки ${\displaystyle (\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})}$ границе ${\displaystyle \partial K_{n}}$ тела коэффициентов ${\displaystyle K_{n}.}$ Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса ${\displaystyle C,}$ имеющая вид выпуклой линейной комбинации

${\displaystyle h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}}$

с коэффициентами ${\displaystyle \alpha _{\nu },}$ причем ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n}$ и ${\displaystyle \varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu }}$ при ${\displaystyle \mu \neq \nu ,}$ ${\displaystyle \mu ,\nu =1,\ldots ,n.}$