Теорема Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

${\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1}}$

многочлен, ${\displaystyle P\not \equiv 0}$. Существует единственная рациональная функция

${\displaystyle R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})}$

вида

${\displaystyle R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,}$

регулярная в ${\displaystyle \left|z\right|\leqslant 1}$ и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена ${\displaystyle n}$ первых коэффициентов, равных соответственно ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1}}$. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

${\displaystyle M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|}$

в классе всех регулярных в круге ${\displaystyle \left|z\right|<1}$ функций ${\displaystyle f(z)}$ вида

${\displaystyle f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots ,}$

и указанное наименьшее значение равно

${\displaystyle \lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})}$

Число ${\displaystyle \lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})}$ равно наибольшему положительному корню уравнения ${\displaystyle 2n}$-й степени

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-1}\\0&-\lambda &\ldots &0&0&c_{0}&\ldots &c_{n-2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&\ldots &-\lambda &0&0&\ldots &c_{0}\\{\bar {c_{0}}}&0&\ldots &0&-\lambda &0&\ldots &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\ldots &0&0&-\lambda &\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}}_{n-2}&\ldots &{\bar {c}}_{0}&0&0&\ldots &-\lambda \end{vmatrix}}}$

Если ${\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1}}$ — действительные числа, то ${\displaystyle \lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})}$ являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения ${\displaystyle n}$-й степени

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}\\0&-\lambda &\ldots &c_{0}&c_{1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0}$