Теорема Голдстоуна

Для простейшей возможной симметрии относительно группы преобразований ${\displaystyle U(1)}$: ${\displaystyle \varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi }$ можно выбрать комплексное скалярное поле ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\rho (x)e^{i\theta (x)}}$ с лагранжианом ${\displaystyle L=(\partial _{\mu }\varphi )(\partial ^{\mu }\varphi ^{*})-V(\rho )}$. Проиллюстрируем спонтанное нарушение симметрии на примере потенциала вида ${\displaystyle V(\rho )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\rho ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \rho ^{4}}$, где ${\displaystyle \mu ^{2}<0}$. Потенциал ${\displaystyle V(\rho )}$ имеет минимум при ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\eta e^{i\alpha }}$, где ${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {|\mu ^{2}|}{\lambda }}}}$. Лагранжиан можно записать как: ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\rho )^{2}-V(\rho )+{\frac {\rho ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\theta )^{2}}$. Если рассматривать в лагранжиане лишь квадратичные члены по модулю и фазе поля, то получим ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\rho _{1})^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\rho _{1}^{2}+{\frac {\eta ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\theta )^{2}+C}$, где ${\displaystyle \rho _{1}=\rho -\eta }$, ${\displaystyle m^{2}=2|\mu |^{2}}$, ${\displaystyle C}$ — константа, не зависящая от поля. Из этого лагранжиана вытекают уравнения движения: ${\displaystyle (\partial _{\mu }^{2}+m^{2})\rho _{1}=0}$ и ${\displaystyle \partial _{\mu }^{2}\theta =0}$. Таким образом, имеем два вещественных поля. Квантами поля ${\displaystyle \rho _{1}}$ являются частицы с массой ${\displaystyle m}$, а квантами поля ${\displaystyle \theta }$ являются частицы с нулевой массой.

• Механизм Хиггса

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М. : Наука, 1980. — С. 101.
• Садовский, М. В. Лекции по квантовой теории поля. — М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 367.