Теорема Бернштейна о седловом графике

Теорема Бернштейна о седловом графике — классическая теорема о седловых поверхностях. Доказана Сергеем Натановичем Бернштейном.[1]

Формулировка

Предположим график гладкой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ является строго седловой поверхностью. Тогда функция $f$ неограничена; то есть не существует константы $C$ такой, что $f(x,y)\leq C$ для любой $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

Замечания

Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения.

Существуют также седловые графики лежащие в верхнем полупространстве $z>0$ ; таков например график $z=\exp(x-y^{2})$ .

Вариации и обобщения

Если график гладкой ограниченной функции является нестрого седловым, то график является линейчатой поверхностью с параллельными образующими.

Примечания

Bernstein, S.N. (1915–1917), Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov Т. 15: 38–45 German translation in Bernstein, Serge (1927), Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — Т. 26: 551–558, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01475472 Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Bernstein, S.N. (1915–1917), Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov Т. 15: 38–45 German translation in Bernstein, Serge (1927), Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — Т. 26: 551–558, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01475472 Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.