Схема преобразования

Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств:

  • , где

Схему преобразования можно сформулировать по-русски, а именно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество , высказав функциональное суждение обо всех элементах данного множества ."

Пример
В следующем примере функциональное суждение преобразует каждое множество в самого себя.

Другие формулировки схемы преобразования

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

Примеры
1. В следующем примере функциональное суждение преобразует множество натуральных чисел в множество чётных чисел .
2. В следующем примере функциональное суждение преобразует множество вещественных чисел в [неупорядоченную] пару .
3. В следующем примере функциональное суждение преобразует множество целых чисел в подмножество натуральных чисел .

Схему преобразования записывают также в следующем виде:

  • , где

Фон Нейман доказал, что данная аксиома следует из аксиомы ограничения размера. Аксиома схемы преобразований может быть выражена как: если F является функцией, а A является множеством, то F(A) - это множество.

Примечания

1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:

где - булеан булеана пустого множества.

2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:

Историческая справка

Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.

Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем в 1922 году, чуть позднее и независимо от него схема была предложена норвежским математиком Туральфом Скулемом.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.