Суперфлип

Если построить граф Кэли по группе кубика Рубика c 12 образующими, соответствующими поворотам граней головоломки на 90°, то соответствующая «суперфлипу» вершина графа окажется локальным максимумом: она дальше от вершины, соответствующей тождественному преобразованию ${\displaystyle I,}$ чем любая из 12 смежных вершин[10][2]. Этот факт был одной из причин рассматривать «суперфлип» как кандидат в конфигурации, наиболее удалённые от начальной[10].

Пусть ${\displaystyle P}$ — любая последовательность поворотов граней на 90°, эффект которой — преобразование «суперфлип». Пусть ${\displaystyle R}$ — последний поворот грани в ${\displaystyle P}$. Благодаря симметричности «суперфлипа» ${\displaystyle P}$ можно преобразовать с помощью вращений и отражений в последовательность поворотов граней той же длины, заканчивающуюся любым из 12 допустимых поворотов. Таким образом, любой из 12 «соседей» «суперфлипа» может быть получен применением последовательности ${\displaystyle P}$ без последнего поворота, то есть расположен на 1 поворот ближе к начальной конфигурации[2].

В 1992 году Дик Т. Винтер[10][7][11] нашёл решение «суперфлипа» в 20 поворотов граней, которое в нотации Сингмастера можно записать как[К 3]:

${\displaystyle \operatorname {superflip} =FBU^{2}RF^{2}R^{2}B^{2}U^{-1}DFU^{2}R^{-1}L^{-1}UB^{2}DR^{2}UB^{2}U.}$

В 1995 году Майкл Рид доказал оптимальность этого решения в метрике FTM[10][7][12]. Иными словами, если за один ход считать поворот любой из граней на 90° или 180°, то кратчайшее решение «суперфлипа» состоит из 20 ходов[13]. «Суперфлип» стал первой конфигурацией с известным расстоянием от собранного состояния, равным 20 «ходам» в метрике FTM[14][5].

В 2010 году было показано, что любая разрешимая конфигурация головоломки может быть решена не более чем в 20 поворотов граней[14]. Предположение, что «суперфлип» может быть «антиподом», т.е. находиться на максимально возможном расстоянии от начальной конфигурации, было высказано задолго до установления «числа Бога» кубика Рубика[15][16].

В 1995 году Майкл Рид[17][7] нашёл решение «суперфлипа» в 24 поворота на 90°, которое можно записать как[К 4]

${\displaystyle \operatorname {superflip} =R^{-1}UUBL^{-1}FU^{-1}BDFUD^{-1}LDDF^{-1}RB^{-1}DF^{-1}U^{-1}B^{-1}UD^{-1}.}$

Как в 1995 году показал Джерри Брайан, более короткого решения в метрике QTM не существует[17][7]. Иными словами, если за один ход считать поворот любой из граней на 90°, то кратчайшее решение «суперфлипа» состоит из 24 ходов.

«Суперфлип» не является «антиподом» в метрике QTM: существуют конфигурации, для решения которых требуется более 24 поворотов на 90°[18]. Тем не менее, «антиподом» в метрике QTM является другая связанная конфигурация — так называемый «суперфлип с четырьмя точками».

Преобразование «четыре точки» (англ. four-spot) затрагивает центры четырёх из шести граней головоломки, меняя каждый из них местами с центром противоположной грани. «Четыре точки» можно определить как эффект последовательности поворотов[19][К 5]

${\displaystyle FFBBUD^{-1}RRLLUD^{-1}.}$

Тогда «суперфлип с четырьмя точками» (англ. superflip [composed] with four-spot[17]) получается последовательным применением преобразований «суперфлип» и «четыре точки»[19].

В 1998 году Майкл Рид показал, что расстояние между конфигурацией «суперфлип с четырьмя точками» и начальной конфигурацией в метрике QTM в точности равно 26[20][21][19]. «Суперфлип с четырьмя точками» стал первой конфигурацией с доказанной необходимостью для решения 26 ходов в метрике QTM[21].

В 2014 году было показано, что любая разрешимая конфигурация кубика Рубика может быть решена не более чем в 26 поворотов граней на 90°[21].