Супермодулярность

Супермодулярность — обобщение свойства выпуклости функций числового аргумента на функционалы, определённые на множествах произвольной природы.

Функционал v, определённый на подмножествах множества N, называется супермодулярным, если для любых подмножеств выполнено

.

Функционал называется модулярным, если данное условие выполнено как равенство. Функционал называется субмодулярным, если неравенство выполнено с обратным знаком.

Эквивалентное определение супермодулярности: для любого подмножества , для любых выполнено

.

Супермодулярность является более сильным свойством, чем супераддитивность функционала. Любой супермодулярный функционал является супераддитивным.

Синергетическая интерпретация

В терминах синергетики супераддитивность функционала указывает на наличие синергетического эффекта от объединения двух систем. При этом супермодулярность свидетельствует о том, что величина синергетического эффекта от объединения возрастает с увеличением масштаба объединяемых систем (положительный эффект масштаба). Субмодулярность говорит о возникновении негативных синергетических эффектов с ростом масштаба систем (диссинергия). Модулярность функционала соответствует отсутствию синергетических эффектов при объединении систем.

Применение

Понятие супермодулярности используется в теории кооперативных игр для доказательства существования C-ядра. Согласно теореме Шепли, супермодулярность характеристической функции кооперативной игры является достаточным условием существования непустого C-ядра.

Источники

  • Данилов В. И. Лекции по теории игр. — М.: Российская экономическая школа, 2002.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.