Слэтеровский детерминант

Самый простой способ аппроксимации многочастичной волновой функции — взять произведение корректно подобранных одночастичных волновых функций. Для случая двух частиц, получим

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2}).}$

Это выражение используется в методе Хартри как анзац для многочастичной волновой функции и известно под названием произведения Хартри, хотя оно и не является удовлетворительным для фермионов, например, для электронов, поскольку такая волновая функция не является антисимметричной, то есть не выполняется равенство

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=-\Psi (\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}).}$

По этой причине произведение Хартри не удовлетворяет принципу неразличимости частиц. Эта проблема может быть решена, если взять линейную комбинацию обоих произведений Хартри:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})-\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})\psi _{2}(\mathbf {r} _{1})\}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{1})\\\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})\end{vmatrix}}}$

Здесь множитель ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ — это коэффициент нормировки. Такая волновая функция антисимметрична. Более того она становится нулевой, если любые две волновые функции одинаковы. Следствием этого является принцип запрета Паули.

Детерминант Слэтера для системы из ${\displaystyle N}$ идентичных частиц строится следующим образом. Берётся набор ${\displaystyle N}$ линейно независимых одночастичных волновых функций ${\displaystyle \psi _{i}(\mathbf {r} )}$. Антисимметричная волновая функция будет иметь вид

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{i},\ldots ,\mathbf {r} _{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}(\mathbf {r} _{1})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{1})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{1})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{1})\\\psi _{1}(\mathbf {r} _{2})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{2})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{2})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{2})\\&&&\vdots \\\psi _{1}(\mathbf {r} _{i})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{i})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{i})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{i})\\&&&\vdots \\\psi _{1}(\mathbf {r} _{N})&\psi _{2}(\mathbf {r} _{N})&\ldots &\psi _{i}(\mathbf {r} _{N})&\ldots &\psi _{N}(\mathbf {r} _{N})\end{matrix}}\right|}$

Таким образом задаётся общая антисимметричная форма волновой функции. Обычно одночастичные волновые функции ${\displaystyle \psi _{i}(\mathbf {r} )}$ или неизвестны, или имеют неизвестные параметры, которые определяются при решении уравнения Шрёдингера, например, вариационным методом. Такая процедура используется, в частности, в методе Хартри — Фока для самосогласованных квантовомеханических расчётов.