Синтетический контроль

Рассмотрим ${\displaystyle i}$-й регион, или какой-то другой объект наблюдения, причём ${\displaystyle i=1,\dots ,J+1}$, где ${\displaystyle J+1}$ — число регионов, среди которых 1 испытал на себе исследуемое воздействие, а остальные ${\displaystyle J}$ — нет, являясь контрольной группой (их совокупность называется «пулом доноров», англ. donor pool), в период времени ${\displaystyle t}$, где ${\displaystyle t=1,\dots ,T}$.

Пусть исследуемое воздействие будет оказано в период ${\displaystyle T_{0}+1}$, где ${\displaystyle 1\leq T_{0}<T}$, и тогда ${\displaystyle T_{0}}$ — число периодов до воздействия. Обозначим отклик показателя в регионе ${\displaystyle i}$ в период времени ${\displaystyle t}$ в отсутствие исследуемого воздействия через ${\displaystyle Y_{it}^{N}}$, а в его присутствие — ${\displaystyle Y_{it}^{I}}$. Сделаем допущение о том, что при ${\displaystyle t=1\dots T_{0}}$, ${\displaystyle Y_{it}^{N}=Y_{it}^{I}}$: до наступления исследуемого воздействия, оно не оказывает эффекта на отклик в выбранном регионе. Также допустим, что воздействие, имевшее место в рассматриваемом регионе, не оказывает влияния на регионы из контрольной группы. Эффект исследуемого воздействия обозначим как ${\displaystyle a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}}$. Поскольку воздействие имеет место только в ${\displaystyle i=1}$ и ${\displaystyle t>T_{0}}$, целью SCM является определение ${\displaystyle a_{1t}=Y_{1t}^{I}-Y_{1t}^{N}}$, где ${\displaystyle Y_{1t}^{I}=Y_{1t}}$ — собственно, наблюдаемый в рассматриваемом регионе показатель, а ${\displaystyle Y_{1t}^{N}}$ — ненаблюдаемый отклик, который можно представить в качестве следующей факторной модели:

где ${\displaystyle \delta _{t}}$ — общий для всех регионов фактор, ${\displaystyle \mathbf {Z} _{i}}$ — вектор наблюдаемых, независимых от воздействия ковариат, ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{t}}$ — вектор их оценённых для данной выборки регионов коэффициентов, ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{t}}$ — вектор ненаблюдаемых латентных факторов, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{i}}$ — вектор соответствующих им факторных нагрузок и ${\displaystyle \epsilon _{it}}$ — специфичности, или шум. Эту модель можно переписать в виде:

где ${\displaystyle w_{j}}$ — это ${\displaystyle j}$-тое значение вектора ${\displaystyle \mathbf {W} =(w_{2},\dots ,w_{J+1})'}$, такого, что ${\displaystyle \forall j:w_{j}>0\land \sum \limits _{j}w_{j}=1}$. Метод синтетического контроля заключается в подборе такого набора весов ${\displaystyle ({\tilde {w}}_{2},\dots ,{\tilde {w}}_{J+1})'}$, что при ${\displaystyle t\leq T_{0}}$, ${\displaystyle \sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}=Y_{jt}}$ (то есть до воздействия веса сохраняют наблюдаемое значения отклика неизменным) и ${\displaystyle \sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}\mathbf {Z} _{j}=\mathbf {Z} _{1}}$ (и при этом эти веса позволяют точно моделировать ковариаты рассматриваемого региона через ковариаты регионов контрольной группы).

В литературе было показано, что если отклонения специфичностей ${\displaystyle \epsilon _{it}}$ незначительны при данном ${\displaystyle T_{0}}$, размере периода до воздействия, ${\displaystyle Y_{1t}^{N}-\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}\to 0}$, то есть разница между моделируемым, ненаблюдаемым откликом в отсутствие воздействия и взвешенным, но наблюдаемым в его присутствии, в таких условиях ничтожно. Соответственно, предлагается такая оценка эффекта воздействия (${\displaystyle a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}}$)[2]^:494-495:

Синтетический контроль совмещает элементы других каузальных статистических методов: разности разностей и мэтчинга.

По сравнению с разностью разностей синтетический контроль предлагает более упорядоченную процедуру подбора весов для наблюдений из контрольной группы, использует больший временной промежуток перед воздействием и требует максимально возможного приближения характеристик контрольной группы к характеристикам исследуемого объекта в ходе подбора весов.

Метод синтетического контроля обладает набором сходств с линейной регрессией. Так и синтетический контроль, и регрессионный анализ предполагают линейную комбинацию весов и переменных (в последнем веса, как правило, называются регрессионными коэффициентами), причём сумма весов равняется 1. Основным различием является то, что в SCM значения этих весов заключены в ${\displaystyle [0,~1]}$, тогда как в регрессионном анализе такого ограничения нет и коэффициенты практически не интерпретируются как веса[1]^:498-499 Так контрфактуальная Германия из исследования 2015 года[1] была «синтезирована» на основании подушного ВВП, уровня инвестиций, торговой открытости, количества школ и доли промышленности в прибавочном продукте Австрии (42%), США (22%), Японии (16%), Швейцарии (11%) и Нидерландов (9%)[6].

Симуляции показали, что панельный метод Сяо (фиксированные эффекты с эффектами взаимодействия) для исследования каузальных эффектов является менее робастным к изменению в пуле доноров, нежели синтетический контроль, хотя использование обоих подходов приводит к удовлетворительным результатам. Отмечалось, что синтетический контроль является более предпочтительным, если у исследователя есть данные по дополнительным временным периодам[7]^:1001[8].

Область применения метода синтетического контроля охватывает исследования политики в сфере здравоохранения[9], криминологию[10], политическую науку[1], различные разделы экономики.

В политологии SCM рассматривается как компромисс между конвенциональными количественными и качественными методами, позволяющий совмещать фокус на одном или нескольких кейсах со строгими критериями их подбора. Посредством этого метода изучались: экономический эффект от объединения Германии для собственно ФРГ[1], последствия федеративной реформы в Бельгии для расходов на социальное обеспечение[11].

В географии SCM используется в исследованиях антропогенных ландшафтов (в рамках land systems science)[12]^:513.

Существуют пакеты для анализа данных посредством метода синтетического контроля в статистическом программном обеспечением. Для языка R был разработан пакет Synth[13].

• Метод инструментальных переменных