Свойство удвоения

Напомним, что в произвольном метрическом пространстве ${\displaystyle B(x,r)}$ обозначает шар с центром ${\displaystyle x}$ и радиусом ${\displaystyle r}$.

Ненулевая мера ${\displaystyle \mu }$ на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная ${\displaystyle C}$ такая, что

${\displaystyle 0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty }$

для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle r>0}$.

Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная ${\displaystyle M}$, такая, что любой шар радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle X}$ можно покрыть ${\displaystyle M}$ шарами радиуса ${\displaystyle r/2}$.[1]

Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус ${\displaystyle r}$ не привышает некоторой положительной константы ${\displaystyle r_{0}}$.