Робастное управление

Каноническая задача робастного управления

Главной задачей синтеза робастных систем управления является поиск закона управления, который сохранял бы выходные переменные системы и сигналы ошибки в заданных допустимых пределах несмотря на наличие неопределённостей в контуре управления. Неопределённости могут принимать любые формы, однако наиболее существенными являются шумы, нелинейности и неточности в знании передаточной функции объекта управления.

Общая каноническая задача робастного управления математически описывается в следующем виде:

Пусть передаточная функция объекта управления — ${\displaystyle \ P(s)}$. Необходимо синтезировать такой контроллер с передаточной функцией ${\displaystyle \ F(s)}$, чтобы передаточная функция замкнутой системы ${\displaystyle \ T_{y1u1}}$ удовлетворяла следующему неравенству, которое называется критерием робастности:

${\displaystyle {\frac {1}{K_{M}(T_{y1u1}(j\omega ))}}\;<1}$

где

${\displaystyle \ K_{M}(T_{y1u1}(j\omega ))=\inf[\sigma _{n}(\Delta )|det((I-T_{y1u1})\Delta )=0]}$,

${\displaystyle \Delta }$ — матрица неопределённостей (см. ниже),

${\displaystyle \sigma _{n}}$ — ${\displaystyle \ n}$-е сингулярное число матрицы.

${\displaystyle K_{M}}$ можно рассматривать как «размер» наименьшей неопределённости на каждой частоте, которая может сделать систему неустойчивой.

Для того, чтобы внести в робастный синтез требования по качеству управления, используется фиктивная неопределённость ${\displaystyle \Delta _{n}}$. При её отсутствии задача является задачей обеспечения робастной устойчивости.

В робастном анализе требуется найти ${\displaystyle K_{M}}$ как границу устойчивости, в робастном же синтезе требуется определить передаточную функцию контроллера для соответствия критерию робастности.

Структурные и неструктурные неопределённости

Аддитивная и мультипликативная неопределённости

В робастном управлении рассматриваются два вида неопределённостей — структурные и неструктурные. Неструктурные неопределённости обычно представляют собой элементы, зависящие от частоты, такие как, например, насыщение в силовых приводах или возмущения в низкочастотной области АФЧХ объекта управления. Воздействие неструктурных неопределённостей на номинальный объект управления может быть как аддитивным

${\displaystyle G=G_{nom}+\Delta _{A}}$

так и мультипликативным

${\displaystyle G=(I+\Delta _{M})G_{nom}}$

Структурные неопределённости представляют собой изменения в динамике объекта управления, к примеру:

• Неопределённости в элементах матриц пространства состояний (A, B, C, D).
• Неопределённости в нулях или полюсах передаточной функции объекта управления.

Общий подход, сформулированный в канонической задаче робастного управления, позволяет выявить на этапе проектирования как структурные, так и неструктурные неопределённости и использовать их в процессе синтеза робастного контроллера.

Робастный анализ

Структурная схема системы в ${\displaystyle M-\Delta }$ виде.

Целью робастного анализа является поиск такой неопределённости ${\displaystyle \Delta }$, при которой система становится неустойчивой. В ходе анализа решаются две задачи:

1. Определение модели неопределённостей
2. Приведение структурной схемы системы к стандартному ${\displaystyle M-\Delta }$ виду, когда все неопределённости структурно отделяются от номинальной схемы системы.

По теореме о робастной устойчивости система ${\displaystyle M-\Delta }$ устойчива при любых ${\displaystyle \Delta (s)}$, удовлетворяющих неравенству

${\displaystyle \sigma (\Delta (j\omega ))<{\frac {1}{\sigma [M(j\omega )]}}}$

Эта теорема обеспечивает достаточные условия робастной устойчивости. Существуют также специальные методы робастного анализа, такие как диагональное масштабирование или анализ по собственным числам. Следует заметить, что малое изменение ${\displaystyle \Delta }$ никогда не влечёт за собой большое изменение ${\displaystyle \sigma (\Delta )}$, то есть анализ по сингулярным числам лучше подходит для робастного управления, чем анализ по собственным числам.

• Оптимальное управление

• Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. — СПб.: Наука. — 282 с.
• Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. — 2. — МГТУ им. Баумана, 2004. — Т. 3. — 616 с.
• Улянов С., Литвинцева Л., Добрынин В, Мишин А. Интеллектуальное робастное управление: технологии мягких вычислений. — 1. — PronetLabs, 2011. — Т. 1. — 406 с.

• Лекции по робастному управлению