Ретракция Шарафутдинова

Пусть ${\displaystyle M}$ — связное риманово многообразие, ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ — выпуклая функция и ${\displaystyle s=\max\{\,f(x)\mid x\in M\,\}}$. Для ${\displaystyle t\leq s}$ обозначим через ${\displaystyle M_{t}}$ множество ${\displaystyle \{\,x\in M\mid f(x)\leq t\}}$. Ретракция Шарафутдинова — это семейство отображений ${\displaystyle \Phi _{t}:M\to M_{t}}$, которое является тождественным на ${\displaystyle M_{t}}$ такое, что если ${\displaystyle f(x)<t}$ то ${\displaystyle \Phi _{t}(x)}$ лежит на градиентной кривой из ${\displaystyle x}$ функции ${\displaystyle f}$ и при этом ${\displaystyle f(\Phi _{t}(x))=t}$.

• Отображения ${\displaystyle \Phi _{t}:M\to M_{t}}$ являются короткими.
• Если ${\displaystyle t\geq \tau }$ то ${\displaystyle \Phi _{t}\circ \Phi _{\tau }=\Phi _{t}}$.