Разбиение единицы
Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.
С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.
Конструкция
Пусть дано открытое покрытие топологического пространства открытыми множествами . Разбиением единицы подчиненным покрытию называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций на , обладающих следующими свойствами:
- Носитель каждой из функций целиком содержится в одном из множеств .
- Для любой точки имеем (то есть при любом для не более, чем счётного множества функций отлично от нуля и ряд , где сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).
Если для любой точки существует окрестность , такая что пересечение непусто не более чем для конечного числа индексов , то такое разбиение единицы называется локально конечным.
Свойства
- Для всякого открытого покрытия паракомпактного T1-пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия -пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
- Для всякого открытого покрытия -многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса .
Литература
Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М.: иностранной литературы, 1956. — 250 с.