Пространство основных функций

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$, на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность ${\displaystyle \left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ сходится к ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$, если:

1. Функции ${\displaystyle u_{j}}$ равномерно финитны, то есть ${\displaystyle \exists K}$ — компакт в ${\displaystyle \Omega }$ и в том числе ${\displaystyle \forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K}$.
2. ${\displaystyle \forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)}$ равномерно по ${\displaystyle x}$.

Здесь ${\displaystyle \Omega }$ — ограниченная область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ — бесконечно гладких на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ функций, убывающих при ${\displaystyle |x|\to \infty }$ быстрее любой степени ${\displaystyle |x|^{-k}}$ вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\dots }$ сходится к ${\displaystyle \phi ^{*}}$, если

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi ^{*}(x)}$ равномерно по ${\displaystyle x}$.

Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.