Пространство ограниченных последовательностей

Пространство ограниченных последовательностей — метрическое пространство. Каждый его элемент определяется как бесконечная последовательность чисел ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }}$, каждый член которой ограничен по модулю: ${\displaystyle |x_{i}|\leqslant K_{i}}$, ${\displaystyle i=1,...\infty }$, где ${\displaystyle K_{i}}$, ${\displaystyle i=1,...\infty }$ - константы[1], и в котором определено расстояние ${\displaystyle \rho (x,y)}$ между любыми двумя точками ${\displaystyle x,y}$, как[2]: ${\displaystyle \rho (x,y)=\sup _{i}|x_{i}-y_{i}|}$, ${\displaystyle i=1,...\infty }$, где ${\displaystyle \sup }$ - точная верхняя граница.

Для пространства ограниченных последовательностей приняты стандартные обозначения ${\displaystyle m}$ или ${\displaystyle \ell _{\infty }}$[1].

Пространство ${\displaystyle m}$ не является сепарабельным[3] и является полным[4].

При определении нормы в ${\displaystyle m}$ как[1]:

${\displaystyle \left\|x\right\|=\sup _{i}|x_{i}|}$, ${\displaystyle i=1,...\infty }$

оно становится линейным нормированным пространством.

Примеры:

• бесконечные последовательности чисел вида ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }}$, таких, что ${\displaystyle |x_{i}|\leqslant 1}$, ${\displaystyle i=1,...\infty }$
• бесконечные последовательности чисел вида ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }}$, таких, что ${\displaystyle |x_{i}|\leqslant {\frac {1}{i}}}$, ${\displaystyle i=1,...\infty }$