Пространство Орлича
Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега.
Определение
Определение 1
Пусть — некоторая фиксированная -функция[1], а — дополнительная[2] к ней -функция; — множество конечной меры.
Пространством Орлича называется совокупность всех измеримых функций , удовлетворяющих условию при всех , таких что .
В пространстве Орлича задана норма Орлича: .
Определение 2
Пусть — некоторая фиксированная -функция.
Пространством Орлича называется множество всех измеримых функций , имеющих конечную норму Люксембурга
Эквивалентность определений
Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой выполнены неравенства
Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.
Свойства
- сепарабельно тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет -условию[3].
- Назовем классом Орлича множество таких измеримых функций, для которых Пространство Орлича совпадает с классом Орлича тогда и только тогда, когда удовлетворяет -условию.
- Пространством назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в . Если удовлетворяет -условию, . В противном случае .
- сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.
- является сопряженным пространством к , где и — дополнительные друг к другу -функции.
- Если [4], то . Верно и обратное.
Примеры
- Если то .
Примечания
- — функцией называется функция M(u), допускающая представление , где — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: .
- Взаимно дополнительными называются — функции , удовлетворяющие уравнениям , где — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: , а определена при равенством .
- -условие:
- , если найдутся , такие, что
Литература
- Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.