Пространство Орлича

Пространство Орлича — линейное нормированное пространство на множестве измеримых функций. Является обобщением пространств Лебега.

Определение

Определение 1

Пусть  — некоторая фиксированная -функция[1], а  — дополнительная[2] к ней -функция;  — множество конечной меры.

Пространством Орлича называется совокупность всех измеримых функций , удовлетворяющих условию при всех , таких что .

В пространстве Орлича задана норма Орлича: .

Определение 2

Пусть  — некоторая фиксированная -функция.

Пространством Орлича называется множество всех измеримых функций , имеющих конечную норму Люксембурга

Эквивалентность определений

Норма Орлича и норма Люксембурга эквивалентны, а именно, для всякой выполнены неравенства

Таким образом, оба определения задают одно и то же пространство с одной топологией.

Свойства

  • сепарабельно тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет -условию[3].
  • Назовем классом Орлича множество таких измеримых функций, для которых Пространство Орлича совпадает с классом Орлича тогда и только тогда, когда удовлетворяет -условию.
  • Пространством назовем наибольшее линейное пространство, вложенное в . Если удовлетворяет -условию, . В противном случае .
  • сепарабельно и является замыканием пространства непрерывных функций по норме Орлича.
  • является сопряженным пространством к , где и  — дополнительные друг к другу -функции.
  • Если [4], то . Верно и обратное.

Примеры

  • Если то .

Примечания

  1.  — функцией называется функция M(u), допускающая представление , где  — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: .
  2. Взаимно дополнительными называются  — функции , удовлетворяющие уравнениям , где  — положительная при , непрерывная справа при , неубывающая функция, удовлетворяющая условиям: , а определена при равенством .
  3. -условие:
  4. , если найдутся , такие, что

Литература

  • Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича — М. : Физматлит, 1958. — С. 271.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.