Прилив и отлив

Малая вода. Гавань деревни Юйао на Восточно-Китайском море. (Уезд Цаннань, Чжэцзян)

Применительно к планете Земля приливной эффект является причиной смещения гравитационного поля Земли в сторону массы Луны.

(концепция акад. Шулейкина[6])

Пренебрегая размером, строением и формой Луны, запишем удельную силу притяжения пробного тела, находящегося на Земле. Пусть ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ — радиус-вектор, направленный от пробного тела в сторону Луны, ${\displaystyle r'}$ — длина этого вектора. В этом случае сила притяжения этого тела Луной будет равна

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {G{{M}_{L}}}{r{{'}^{3}}}}\mathbf {r} ',\quad }$ (1)

где ${\displaystyle G{{M}_{L}}}$ — селенометрическая гравитационная постоянная. Пробное тело поместим в точку ${\displaystyle P}$. Сила притяжения пробного тела, помещённого в центр масс Земли будет равна

${\displaystyle {{\mathbf {F} }_{0}}={\frac {G{{M}_{L}}}{{r}^{3}}}\mathbf {r} .\quad (2)}$

Здесь под ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle r}$ понимаются радиус-вектор, соединяющий центры масс Земли и Луны, и их абсолютные величины. Приливной силой мы будем называть разность этих двух сил тяготения

${\displaystyle {{\mathbf {F} }_{fl}}=\mathbf {F} -{{\mathbf {F} }_{0}}.\quad (3)}$

В формулах (1) и (2) Луна считается шаром со сферически-симметричным распределением масс. Силовая функция притяжения пробного тела Луной ничем не отличается от силовой функции притяжения шара и равна ${\displaystyle {}^{G{{M}_{L}}}\!\!\diagup \!\!{}_{r'}\;}$ Вторая сила приложена к центру масс Земли и является строго постоянной величиной. Для получения силовой функции для этой силы мы введём временную систему координат. Ось ${\displaystyle Ox}$ проведём из центра Земли и направим в сторону Луны. Направления двух других осей оставим произвольными. Тогда силовая функция силы ${\displaystyle {{\mathbf {F} }_{0}}}$ будет равна ${\displaystyle {\frac {G{{M}_{L}}}{{r}^{2}}}x+\operatorname {const} }$. Приливообразующий потенциал будет равен разности этих двух силовых функций. Обозначим его ${\displaystyle \delta W}$, получим

${\displaystyle \delta W={\frac {G{{M}_{L}}}{r'}}-{\frac {G{{M}_{L}}}{{r}^{2}}}x-\operatorname {const} .}$

Постоянную ${\displaystyle \operatorname {const} }$ определим из условия нормировки, согласно которому приливообразующий потенциал в центре Земли равен нулю. В центре Земли

${\displaystyle x=0,}$

${\displaystyle r'=r.}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle {\frac {G{{M}_{L}}}{r}}=\operatorname {const} .}$

Следовательно, мы получаем окончательную формулу приливообразующего потенциала в виде

${\displaystyle {\frac {G{{M}_{L}}}{r'}}-{\frac {G{{M}_{L}}}{{r}^{2}}}x-{\frac {G{{M}_{L}}}{r}}.\quad (4)}$

Поскольку

${\displaystyle r'={\sqrt {{{\left(r-x\right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}},}$

то

${\displaystyle {\frac {1}{r'}}={\frac {1}{r}}{{\left[{{\left(1-{\frac {x}{r}}\right)}^{2}}+{\frac {{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{r}^{2}}}\right]}^{-{\frac {1}{2}}}}.}$

При малых величинах ${\displaystyle {x}/{r}\;}$, ${\displaystyle {y}/{r}\;}$, ${\displaystyle {z}/{r}\;}$, учитывая второй порядок малости, последнее выражение можно представить в следующем виде

${\displaystyle {\frac {1}{r'}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {x}{r}}+{\frac {2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{r}^{2}}}}\right).\quad (5)}$

Подставив (5) в (4), получим

${\displaystyle \delta W=G{{M}_{L}}{\frac {2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{r}^{3}}}}.\quad (6)}$

Возмущающее воздействие приливного потенциала деформирует уровненную поверхность планеты. Оценим это воздействие, считая, что Земля представляет собой шар со сферически-симметричным распределением массы. Невозмущённый гравитационный потенциал Земли на поверхности будет равен

${\displaystyle {\frac {GM}{R}}.}$

Для точки ${\displaystyle P,}$ находящейся на расстоянии ${\displaystyle \rho }$ от центра сферы, гравитационный потенциал Земли равен

${\displaystyle {\frac {GM}{\rho }}.}$

Сократив на гравитационную постоянную, получим

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}+{\frac {{M}_{L}}{M}}\cdot {\frac {2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{r}^{3}}}}={\frac {1}{R}}.}$

Здесь переменными величинами являются: ${\displaystyle x,y,z}$ и ${\displaystyle \rho .}$ Обозначим отношение масс гравитирующего тела к массе планеты греческой буквой: ${\displaystyle \mu }$ и решим полученное выражение относительно ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle \rho =R{{\left(1-\mu {\frac {R}{r}}\cdot {\frac {2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{r}^{2}}}}\right)}^{-1}}\approx R\left(1+\mu {\frac {R}{r}}\cdot {\frac {2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}{2{{r}^{2}}}}\right).}$

Так как

${\displaystyle {{\rho }^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$

с той же степенью точности получим

${\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{{R}^{2}}}\left(1-2\mu {\frac {{R}^{3}}{{r}^{3}}}\right)+{\frac {{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{R}^{2}}}\left(1+\mu {\frac {{R}^{3}}{{r}^{3}}}\right)=1.}$

Учитывая малость отношения ${\displaystyle {R}/{r}\;}$ последние выражения можно записать так

${\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{{{R}^{2}}\left(1+2\mu {\frac {{R}^{3}}{{r}^{3}}}\right)}}+{\frac {{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{{{R}^{2}}\left(1-\mu {\frac {{R}^{3}}{{r}^{3}}}\right)}}=1.}$

Мы получили, таким образом, уравнение двухосного эллипсоида, у которого ось вращения совпадает с осью ${\displaystyle Ox}$, то есть с прямой, соединяющей тяготеющее тело с центром Земли. Полуоси этого эллипсоида в первом приближении равны

${\displaystyle a=\left(1+\mu {\frac {{R}^{3}}{{r}^{3}}}\right)R,\,\,\,b=c=\left(1-\mu {\frac {{R}^{3}}{2{{r}^{3}}}}\right)R.}$

Приведём в конце небольшую численную иллюстрацию данного эффекта. Вычислим приливные «горбы» на Земле, вызванные притяжением Луны и Солнца.

Радиус Земли равен ${\displaystyle R=6378}$ км, расстояние между центрами Земли и Луны с учётом нестабильности лунной орбиты ${\displaystyle r=384,4\cdot {{10}^{3}}}$ км, отношение массы Земли к массе Луны равно 81:1 (${\displaystyle \mu =0,012345679}$). Очевидно, что при подстановке в формулу мы получим величину, примерно равную 36 см.

Для вычисления приливного «горба», вызванного Солнцем, используем среднее расстояние от Земли до Солнца, равное ${\displaystyle r=149,6\cdot {{10}^{6}}}$ км, и отношение массы Солнца к массе Земли ${\displaystyle \mu =332982}$. В этом случае получаем величину «горба» около 16 см.