Потенциалы Лиенара — Вихерта

Все величины в формулах для потенциалов Лиенара — Вихерта, включая скорость частицы и её радиус-вектор ${\displaystyle \mathbf {R} }$, берутся в момент времени ${\displaystyle t'}$, определяемый из уравнения

${\displaystyle c(t-t')=R.}$

${\displaystyle t'}$ также называют временем запаздывания.[1]

Потенциалы поля в начале координат даются выражениями (в системе СГС)

${\displaystyle \varphi (t)=\left.{\frac {e}{R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}}}\right|_{t=t'},}$

${\displaystyle \mathbf {A} (t)=\left.{\frac {e\mathbf {v} }{c\left(R+{\mathbf {v} \mathbf {R} \over c}\right)}}\right|_{t=t'},}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость частицы, ${\displaystyle \mathbf {R} }$ — её радиус-вектор, ${\displaystyle R=|\mathbf {R} |,}$ ${\displaystyle \varphi }$ — скалярный потенциал, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторный потенциал магнитного поля, ${\displaystyle e}$ — заряд частицы, ${\displaystyle c}$ — скорость света.

В более общем случае, когда потенциалы ищутся в произвольной точке P системы отсчёта с радиусом-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$, формулы для потенциалов можно объединить в одно лоренц-инвариантное выражение для 4-потенциала:

${\displaystyle A^{\mu }=e{\frac {u^{\mu }}{R_{\nu }u^{\nu }}},\qquad R_{\lambda }R^{\lambda }=0,}$

где ${\displaystyle u^{\mu }}$ — 4-скорость частицы в момент времени ${\displaystyle t'}$, 4-вектор ${\displaystyle R^{\mu }=\left[c(t-t'),\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} '\right],}$ величина ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ есть радиус-вектор частицы в момент времени ${\displaystyle t'}$.

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Lienard A. M. L’Éclairage électrique 16, 5, 53, 106 (1898).
• Wiechert E. Archives néerl., 2nd series, 5, 549 (1900).