Последняя теорема Пуанкаре

Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.

Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре[1]; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф[2] спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом[3].

Формулировка

Пусть $K$ — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами $r=a$ и $r=b$ . Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

r'=\varphi (r,\theta );\theta '=\psi (r,\theta )

,

удовлетворяющее следующим условиям:

отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
каждая граничная окружность переходит в себя: $\varphi (a,\theta )=a$ , $\varphi (b,\theta )=b$ ;
точки с $r=a$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с $r=b$ — по часовой стрелке. Более точно, функция $\psi$ непрерывна и $\psi (a,\theta )>\theta$ и $\psi (b,\theta )<\theta$ при любом $\theta$ .

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации и обобщения

Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.

Примечания

Poincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407
Birkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22
M. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. Архивировано 3 марта 2016 года. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31. (англ.)

Литература

Пуанкаре теорема последняя — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
Парс Л. А. Аналитическая динамика, пер. с англ., М.: Наука, 1971. 636 с.

Ссылки

Кириллов А. Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей (видео) // Семинар по истории математики, Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН, 7 сентября 2017 г.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Poincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407

[2] Birkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22

[3] M. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. Архивировано 3 марта 2016 года. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31. (англ.)