Полупростая алгебра Ли

Теорема Леви-Мальцева о разложении Леви утверждает, что любая алгебра Ли является полупрямой суммой[1] разрешимого идеала (называемого радикалом алгебры Ли) и полупростой алгебры[2]. В частности, ненулевая алгебра Ли не может быть одновременно разрешимой и полупростой. Для многих задач это позволяет рассматривать отдельно теорию разрешимых алгебр Ли и отдельно — полупростых.

Полупростые алгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 полностью классифицируются своими системами корней, которые в свою очередь описываются диаграммами Дынкина. Над не алгебраическими замкнутыми полями классификация усложняется, но для поля вещественных чисел вещественная алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда её комплексификация полупроста.

• Полупростота сохраняется при рассмотрении идеала, факторалгебры Ли, прямого произведения[3].
• (Критерий Картана) Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда её форма Киллинга невырождена.
• (Теорема Вейля) Конечномерное представление полупростой алгебры Ли вполне приводимо[4].
• Фактор ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ полупрост, как фактор полупростой алгебры Ли, и абелев, как фактор по коммутанту. Тогда он равен нулевой алгебре Ли. Отсюда коммутант полупростой алгебры Ли равен ей же самой: ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}.}$ В частности, любая линейная полупростая алгебра Ли лежит в ${\displaystyle [{\mathfrak {gl}}_{n},{\mathfrak {gl}}_{n}]={\mathfrak {sl}}_{n}}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — конечномерная полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Рассмотрим подалгебру Картана ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ — максимальную торическую подалгебру[5], где слово торическая означает, что она состоит из полупростых элементов, то есть таких элементов ${\displaystyle x}$, что ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ диагонализуем. Можно рассмотреть действие ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ при помощи присоединённого представления ${\displaystyle \operatorname {ad} }$. Для полупростой алгебры Ли подалгебра Картана оказывается абелевой[6], поэтому операторы ${\displaystyle \operatorname {ad} }$, соответствующие её элементам, можно одновременно диагонализовать[6].

Пусть ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{\ast }}$ — линейный функционал на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Тогда можно рассмотреть подпространство в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (возможно, нулевое), заданное формулой:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\quad \forall h\in {\mathfrak {h}}\}.}$

Множество ${\displaystyle \Phi }$ называют системой корней алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Можно показать, что оно действительно удовлетворяет аксиомам системы корней. В ней можно выбрать[9] базис так называемых простых корней ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}}$ так, что каждый элемент ${\displaystyle \Phi }$ представляется в виде целочисленной линейной комбинации простых корней, причём либо со всеми неотрицательными коэффициентами, либо со всеми неположительными[10]. Из теории представлений ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ следует, что для каждого из таких корней можно выбрать элементы ${\displaystyle g_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },h_{\alpha }=[e_{\alpha },f_{\alpha }]}$, нормировав их так, что ${\displaystyle [h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha }}$ и ${\displaystyle [h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }.}$ Оказывается, что выбранные так ${\displaystyle 3l}$ элементов порождают ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ как алгебру Ли.

Обозначим ${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i}),}$ тогда можно выписать явно все соотношения на эти порождающие (соотношения Серра)[11]:

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j.}$

Теорема Серра утверждает, что для любой матрицы ${\displaystyle \{a_{ij}\}}$, являющейся матрицей Картана, или, что эквивалентно, для любой системы корней, существует единственная с точностью до изоморфизма полупростая конечномерная алгебра Ли[12]. Одно из возможных доказательств существования — построение конструкции алгебры Каца-Муди.

Таким образом, оказывается, что для классификации полупростых конечномерных алгебр Ли (над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики) достаточно классифицировать системы корней.

Простые алгебры Ли соответствуют неприводимым диаграммам Дынкина.

При изучении систем корней оказывается возможным сопоставить каждой из них ориентированную диаграмму Дынкина. Разложению полупростой алгебры Ли в сумму простых соответствует разложение несвязной диаграммы в объединение связных компонент (неприводимых диаграмм). Таким образом, задача классификации сводится к выяснению, какие неприводимые диаграммы Дынкина могут быть диаграммами некоторой системы корней.

Алгебры, соответствующие сериям ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},}$ называют классическими; это алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},{\mathfrak {so}}_{2n+1},{\mathfrak {sp}}_{2n},{\mathfrak {so}}_{2n}}$ соответственно. Диаграммы этих серий при малых значениях ${\displaystyle n}$ могут совпадать друг с другом, что порождает изоморфные алгебры, или раскладываться в сумму других, то есть не быть простыми; для исключения этих случаев из списка можно брать ${\displaystyle A_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 1}$, ${\displaystyle B_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 2}$, ${\displaystyle C_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$, ${\displaystyle D_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 4}$[13].

Алгебры, соответствующие диаграммам ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$, ${\displaystyle E_{8}}$, ${\displaystyle F_{4}}$, ${\displaystyle G_{2}}$ называют исключительными. Обычно соответствующие группы обозначают тем же символом, что и диаграмму, а алгебры — ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6},{\mathfrak {e}}_{7},{\mathfrak {e}}_{8},{\mathfrak {f}}_{4},{\mathfrak {g}}_{2}.}$

Для не алгебраически замкнутого поля несколько неизоморфных простых алгебр Ли могут соответствовать одной и той же простой алгебре Ли над алгебраическим замыканием, поэтому требуются дополнительные усилия. В случае поля вещественных чисел полная классификация даётся диаграммами Сатаке, представляющими из себя диаграммы Дынкина с дополнительными метками[14].

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (рус.) / пер. с англ. Б.Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2003. — 214 с. — ISBN 5-900916-79-0.
• Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам (рус.). — Москва: Наука, 1988. — 344 с. — ISBN 5-02-013721-9.
• Serre J.-P. Complex semisimple Lie algebras (англ.). — Berlin: Springer, 2000. — 74 p.
• Knapp A.M. Lie groups beyond an introduction (англ.). — Birkhäuser, 2002.