Позиционная весовая матрица

Первым этапом построения матрицы весов на основе множественного безделеционного выравнивания является создание позиционной матрица частот (ПМЧ). Элементы этой матрицы соответствуют тому, сколько раз каждая буква алфавита встречается на конкретной позиции в мотиве. Далее, ПМЧ преобразуется в позиционную вероятностную матрицу путём нормировки на общее число последовательностей в выравнивании. Такая матрица показывает, какова вероятность встретить данную букву в данной позиции в исходном выравнивании.

Каждый элемент вероятностной матрицы ${\displaystyle P_{k,j}}$ равен вероятности встретить букву ${\displaystyle k}$ в позиции ${\displaystyle j}$ в исходном выравнивании и высчитывается по формуле[1]:
${\textstyle P_{k,j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}I\left({X_{i,j}=k}\right),}$
где ${\displaystyle i=1,...,N}$ — номер последовательности, ${\displaystyle j=1,...,J}$ — номер позиции, ${\displaystyle k}$ — буква алфавита,

${\displaystyle X_{i,j}}$ — буква, соответствующая позиции ${\displaystyle j}$ в последовательности ${\displaystyle i}$, а ${\displaystyle I}$ — индикаторная функция, вычисляемая по формуле:
_{${\textstyle {I\left(a=k\right)}=\left\{{\begin{matrix}1,&a=k,\\0,&a\neq k,\end{matrix}}\right.}$}

Например, даны следующие десять выровненных последовательностей ДНК, которые представляют один мотив:

соответственно позиционная матрица частот:

${\displaystyle F={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}3&6&1&0&0&6&7&2&1\\2&2&1&0&0&2&1&1&2\\1&1&7&10&0&1&1&5&1\\4&1&1&0&10&1&1&2&6\end{bmatrix}}.}$

и, следовательно, полученная после деления на число последовательностей вероятностная матрица:

${\displaystyle P={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.3&0.6&0.1&0.0&0.0&0.6&0.7&0.2&0.1\\0.2&0.2&0.1&0.0&0.0&0.2&0.1&0.1&0.2\\0.1&0.1&0.7&1.0&0.0&0.1&0.1&0.5&0.1\\0.4&0.1&0.1&0.0&1.0&0.1&0.1&0.2&0.6\end{bmatrix}}}$[7].

В позиционной вероятностной матрице сумма значений каждого столбца, то есть вероятность встретить какую-нибудь букву алфавита в данной позиции, в случае безделеционного исходного выравнивания равна 1.

С помощью этой матрицы можно рассчитать вероятность того, что, генерируя с указанной в ней вероятностью буквы в каждой позиции, мы получим последовательность ${\displaystyle S}$. Так как столбцы матрицы предполагаются независимыми друг от друга, эта вероятность равна произведению вероятностей получить каждую букву последовательности в её позиции, то есть:
${\textstyle p(S\vert P)=\prod _{j=0}^{J}P_{S_{j},j},}$
где ${\displaystyle S_{j}}$ — буква последовательности ${\displaystyle S}$ в позиции ${\displaystyle j}$.
Например, вероятность того, что последовательности S = GAGGTAAAC получена матрицей ${\displaystyle P}$ из предыдущего примера, может быть рассчитана:
${\displaystyle p(S\vert P)=0.1\times 0.6\times 0.7\times 1.0\times 1.0\times 0.6\times 0.7\times 0.2\times 0.2=0.0007056.}$

Для расчета позиционной матрицы вероятностей из небольшого массива данных часто применяются псевдосчёты. Из-за неполноты выборки может возникнуть ситуация, когда в некоторой позиции в исходной выборке представлены не все буквы. В таком случае вероятность получить эту букву при генерации случайной последовательности из этой матрицы будет равна нулю. Соответственно, вероятность сгенерировать последовательность с такой буквой в этой позиции тоже будет равна нулю вне зависимости от остальной последовательности[8]. Чтобы избежать этого, к каждому элементу вероятностной матрицы прибавляется некоторое значение, называемое псевдосчетом, чтобы сделать его отличным от нуля. По правилу Лапласа к каждому элементу матрицы частот добавляется 1 — минимальная возможная встречаемость буквы в этом положении. Существуют более сложные системы псевдосчетов, например, использующие смеси Дирихле или матрицы замен.

Учитывая псевдосчеты, определение матрицы вероятностей может быть сформулировано:

${\displaystyle P_{k,j}={\frac {F_{k,j}+e\left(k\right)}{N+\sum {e\left(k'\right)}}}}$ , где ${\displaystyle F_{k,j}}$ — ПМЧ, ${\displaystyle e\left(k\right)}$ — псевдосчетная функция[9].

В приведенном выше примере, построенном без применения псевдосчетов, любая последовательность, которая не имеет G в четвёртой позиции или T в пятой позиции, будет иметь вероятность 0.

Последний шаг для создания ПВМ — переход от вероятностей букв в различных положениях мотива к их весам. Чаще всего эти веса вычисляются как логарифмическое отношение правдоподобия с учётом фоновой модели генерации случайной последовательности b. Простейшая фоновая модель предполагает, что каждая буква появляется одинаково часто в любой позиции наборе данных, то есть значение ${\displaystyle P_{k}=1/\vert k\vert }$ для любого символа в алфавите (0.25 для нуклеотидов и 0.05 для аминокислот, соответственно). Фоновая модель не обязательно должна подразумевать равномерное распределение букв: например, при изучения организмов с высоким GC-составом вероятности для C и G могут увеличиться, а для А и Т — соответственно уменьшиться. Таким образом, элементы матрицы весов рассчитываются по формуле[6]:

${\displaystyle W_{k,j}=\mathrm {ln} \;(P_{k,j}/P_{k}).}$

Применяя эту трансформацию к вероятностной матрице из примера (без учета псевдосчетов) получаем:

${\displaystyle W={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.18&0.87&-0.91&-\infty &-\infty &0.87&1.02&-0.22&-0.91\\-0.22&-0.22&-0.91&-\infty &-\infty &-0.22&-0.91&-0.91&-0.22\\-0.91&-0.91&1.02&1.38&-\infty &-0.91&-0.91&0.69&-0.91\\0.47&-0.91&-0.91&-\infty &1.38&-0.91&-0.91&-0.22&0.87\end{bmatrix}}.}$

В случае, если элементы ПВМ рассчитываются с использованием логарифмического отношения правдоподобия, вес последовательности может быть рассчитан как сумма весов для каждой буквы этой последовательности в её позиции. Полученный вес дает представление о том, насколько эта последовательность соответствует мотиву, по которому была создана позиционная матрица весов. Чем выше вероятность того, что последовательность сгенерирована соответствующей вероятностной матрицей, а не случайна, тем выше вес.