Парадокс Греллинга — Нельсона

Для формулировки парадокса вводится два класса для имён прилагательных естественного языка:

1. Прилагательное называется автологичным (иногда — гомологичным, гомологическим) тогда и только тогда, когда оно описывает себя. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» — многосложным, а «пятисложное» — пятисложным.
2. Прилагательное называется гетерологичным, если оно не описывает себя. Например, «новое» не является новым, «горячее» — горячим, а «английское» — английским.

Согласно определению этих групп, они представляют собой непересекающиеся множества: каждое прилагательное либо описывает себя, либо нет.

Парадокс возникает в случае, если задать вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологичный»? Если оно автологичное, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологичным. Если же оно гетерологичное, оно не имеет обозначаемого им свойства и должно быть автологичным.

Если же задать вопрос, является ли прилагательное «автологичное» автологичным, то имеет место цепочка рассуждений:

• если «автологичное» автологично, значит, оно описывает себя, значит, действительно автологично;
• если «автологичное» не автологично, то есть не описывает себя, значит, оно неавтологично.

Таким образом, ситуация с прилагательными противоположная: любое предположение об «автологичном» доказывается как истинное, в то время как с описанием «гетерологичного» любое предположение оказывается ложным.

Логическое описание для «автологичного»:

«Автологичное» автологично тогда и только тогда, когда «автологичное» автологично:

${\displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ — тавтология

Логическое описание для «гетерологического»:

«Гетерологичное» гетерологично тогда и только тогда, когда «гетерологичное» автологично:

${\displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда не выполнено ${\displaystyle A}$ — противоречие.

Могут возникнуть неопределённости в приписывании того или иного прилагательного к автологичным. Например, прилагательное «громкий» может быть интерпретировано как автологичное в случае его громкого произнесения, в противном случае оно гетерологично. Один из инструментов решения такого рода проблемы — использование теории типовых меток[2].

Возникает та же ситуация, что и в парадоксе Рассела: имеется множество всех прилагательных (в данном случае русского языка), которое делится на две части так, что каждая из этих частей не является множеством, поскольку одновременно содержит и не содержит элемента, являющегося, несомненно, прилагательным. При этом понятие гетерологичного прилагательного эквивалентно понятию правильного множества в парадоксе Рассела, а понятие автологичного прилагательного — понятию неправильного множества.

• Grelling, K.; Nelson, L. Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti // Abhandlungen der Fries’schen Schule II (неопр.). — Göttingen, 1908. — С. 301—334. Also in: Nelson, Leonard. Gesammelte Schriften III. Die kritische Methode in ihrer Bedeutung für die Wissenschaften (нем.). — Hamburg: Felix Meiner Verlag, 1974. — S. 95—127. — ISBN 3787302220.
• Frank P. Ramsey. The Foundations of Mathematics. — 1926. — Т. 25, № 1. — С. 338—384. — doi:10.1112/plms/s2-25.1.338.
• Peckhaus, Volker. Paradoxes in Göttingen // One hundred years of Russell's paradox: mathematics, logic, philosophy (англ.) / Link, Godehard. — Berlin: Walter de Gruyter, 2004. — P. 501—516. — ISBN 3110174383.

• Autological words
• А. А. Ивин. «Логика». М.: Гардарики, 2002, с. 324—325.