Олимпиадные математические задачи

Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называемых математических олимпиад. Олимпиадные задачи отличаются от остальных школьных задач нестандартностью решений. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».[1]

Внешняя простота олимпиадных задач — их условия и решения должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Иногда этой кажущейся простотой пользовались не по назначению: во времена СССР на приёмных экзаменах в ВУЗы с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей. Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».[2]

Победители математических олимпиад имеют льготы при поступлении во многие ВУЗы[3].

Решение олимпиадных задач может потребовать существенного количества времени даже от сильного (но ненатренированного на их решение) профессионального математика.[4]

Олимпиадные задачи можно найти в Интернете,[5] в периодических изданиях (журналы Квант, Математическое просвещение), а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ[6] и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.

Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка»[7], сборники олимпиадных задач, выпускавшиеся издательствами «Наука», «Просвещение», переводные — издательством «Мир»[8], и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.

Задача олимпиадного типа, известная со времён Евклида:

Доказать, что существует бесконечно много простых чисел.

Задача решается методом от противного. Предположив, что простых чисел конечное число N, рассматриваем число, следующее за их произведением ${\displaystyle (\prod _{i=1}^{N}{p_{i}})+1}$. Очевидно, что оно не делится ни на одно из использованных в произведении простых чисел, давая в остатке 1. Значит, либо оно само простое, либо оно делится на простое число, не учтённое в нашем (предположительно полном) списке. В любом случае, простых чисел, по крайней мере, N+1. Противоречие с предположением о конечности. Q.E.D.

Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.

• Задачи на инвариант
• Задачи на взвешивание
• Игра
• Комбинаторика
• Теория графов
• Неравенство
• Геометрия
• Алгебра и теория чисел
• Задачи про рыцарей и лжецов
• Стратегии
• Теорема арифметики

Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:

• Доказательство от противного
• Принцип Дирихле
• Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот)
• Правило крайнего
• Решение задачи с конца
• Поиск инварианта
• Построение контрпримера
• Математическая индукция
• Рекурсия
• Метод итераций
• Полуинвариант
• Подсчёт двумя способами
• Метод аналогий
• Провокационный метод
• Вспомогательное построение
• Переход в пространство большего числа измерений
• Вспомогательная раскраска
• Прыжки Виета
• Подмена лиц
• Метод исключения

• Турнир городов
• Всесоюзная олимпиада школьников по математике
• Международная математическая олимпиада
• Открытая олимпиада Белорусско-Российского университета по математике

• Задачник «Кванта»
• Классификация олимпиадных задач по методам решения
• Задачник «Кванта». Математика / Под редакцией Н. Б. Васильева. — 2005. — 95 с. — (Библиотечка «Квант»).
• Математические турниры имени А. П. Савина / Составитель А. В. Спивак. — 2006. — (Библиотечка «Квант»).
• Габышев Д. Н. Искусство составлять задачи и немного об их решении: учебное пособие. — Тюмень: Издательство ТюмГУ, 2012. — 68 с. — ISBN 978-5-400-00606-7.
• Егоров А. А., Раббот Ж. М. Олимпиады «Интеллектуальный марафон». Математика. — М.: Бюро Квантум, 2006. — (Библиотечка «Квант»).
• Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. — М.: Наука, 1988. — 288 с. — (Библиотека математического кружка). — ISBN 5-02-013730-8.
• Агаханов Н. Х., Богданов И. И., Кожевников П. А., Подлипский О. К., Терёшин Д. А. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — 472 с. — 5000 экз. — ISBN 978-5-94057-262-6.
• Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. Задачи, решения, итоги. — М.: Просвещение, 1967. — 176 с.
• Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975. — 112 с.
• Садовничий В. А., Подколзин А. С. Задачи студенческих олимпиад по математике. — М.: Наука, 1978. — 208 с.