Общая тауберова теорема Винера

Пусть ${\displaystyle K_{1}}$ — функция из пространства ${\displaystyle L_{1}}$, преобразование Фурье которой не обращается в нуль ни в одной точке оси ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$. Пусть ${\displaystyle K_{2}}$ принадлежит ${\displaystyle L_{1}}$, а функция ${\displaystyle f(x)}$ ограничена на промежутке ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$. Если ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{1}(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{1}(x)dx(1)}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{2}(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{2}(x)dx(2)}$. С другой стороны, пусть ${\displaystyle K_{1}}$ — функция из пространства ${\displaystyle L_{1}}$, преобразование Фурье которой имеет вещественный нуль. Тогда найдется ограниченная функция ${\displaystyle f(x)}$ и функция ${\displaystyle K_{2}(x)}$, принадлежащая ${\displaystyle L_{1}}$, такая, что ${\displaystyle (1)}$ выполняется, а ${\displaystyle (2)}$ не имеет места.

Здесь ${\displaystyle L_{1}}$ — обозначает пространство вещественных неограниченных функций, для которых существует предел ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{A,B\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f_{A,B}(x)dx}$.

• Норберт Винер. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — Физматлит, 1963. — 256 с.