Обращение интеграла Лапласа

Пусть функция ${\displaystyle F}$ комплексного переменного ${\displaystyle p=x+iy}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. ${\displaystyle F}$ — аналитическая в области ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } \,p>a}$
2. в области ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } \,p>a}$ ${\displaystyle F\to 0}$ при ${\displaystyle |p|\to +\infty }$ равномерно относительно ${\displaystyle \arg p}$
3. для всех ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } \,p>a}$ сходится интеграл ${\displaystyle \int \limits _{x-i\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy}$

Тогда функция ${\displaystyle F}$ при ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } \,p>a}$ является изображением функции ${\displaystyle f}$ действительной переменной ${\displaystyle t}$, которую можно найти по формуле

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{x-i\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p)\,dp,\quad x>a}$

Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегралом Меллина (названы в честь финского математика Ялмара Меллина). Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов. А именно, если функция ${\displaystyle F}$, заданная в области ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } \,p>a}$, может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексного переменного с конечным числом особых точек ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$ и её аналитическое продолжение удовлетворяет при ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } \,p<a}$ условиям леммы Жордана, то

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k}}(e^{pt}F(p))}$