Обратная польская запись

Обратная польская нотация (ОПН) была разработана австралийским философом и специалистом в области теории вычислительных машин Чарльзом Хэмблином в середине 1950-х на основе польской нотации, которая была предложена в 1920 году польским математиком Яном Лукасевичем. Работа Хэмблина была представлена на конференции в июне 1957, и издана в 1957 и 1962.

Первыми компьютерами, поддерживающими обратную польскую нотацию, были KDF9 от English Electric Company, который был анонсирован в 1960 и выпущен (появился в продаже) в 1963, и американский Burroughs B5000, анонсирован в 1961, выпущен в том же 1963. Один из проектировщиков B5000, Р. С. Бартон, позже написал, что разработал обратную польскую запись независимо от Хэмблина, примерно в 1958, в процессе чтения книги по символьной логике, и до того как познакомился с работой Хэмблина.

Компания Friden перенесла ОПН в настольные калькуляторы, выпустив в июне 1964 модель EC-130. А в 1968 инженеры Hewlett-Packard разработали настольный калькулятор 9100A с поддержкой ОПН. Этот калькулятор сделал обратную польскую нотацию популярной среди учёных и инженеров, даже несмотря на то, что в ранней рекламе 9100A ОПН не упоминалась. В 1972 калькулятор HP-35 с поддержкой ОПН стал первым научным карманным калькулятором.

В 1971 году появился оригинальный язык программирования Forth, языковая машина которого имеет двухстековую структуру и где все вычисления проводятся на стеке. В этом языке ОПН является естественным способом записи любых операций с данными, хотя возможна, при желании, реализация и обычной (инфиксной) записи арифметических операций.

ОПН применялась в советском инженерном калькуляторе Б3-19М (совместная разработка с ГДР), выпущенном в 1976 году. Все выпускаемые в СССР вплоть до конца 1980-х годов программируемые микрокалькуляторы, за исключением «Электроника МК-85» и «Электроника МК-90», использовали ОПН — она проще реализовывалась и позволяла обойтись в программировании вычислений меньшим числом команд, по сравнению с обычной алгебраической нотацией, а количество программной памяти в этих моделях всегда было критическим ресурсом. ОПН используется в современных российских программируемых калькуляторах «Электроника МК-152» и «Электроника МК-161», что обеспечивает их совместимость с программами, написанными для советских калькуляторов.

Чтобы дать индуктивное определение постфиксной нотации[1], обозначим выражения в инфиксной нотации ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle E_{1}}$, ${\displaystyle E_{2}}$, эквивалентные им выражения в постфиксной нотации ${\displaystyle {\dot {E}}}$ , ${\displaystyle {\dot {E}}_{1}}$, ${\displaystyle {\dot {E}}_{2}}$ соответственно; ${\displaystyle o}$ — произвольный бинарный оператор, тогда:

1. Если ${\displaystyle E}$ — переменная или константа, то ${\displaystyle {\dot {E}}}$ есть ${\displaystyle E}$.

2. Если ${\displaystyle E}$ — выражение вида ${\displaystyle E_{1}oE_{2}}$, то ${\displaystyle {\dot {E}}}$ есть ${\displaystyle {\dot {E}}_{1}{\dot {E}}_{2}o}$.

3. Если ${\displaystyle E}$ — выражение вида ${\displaystyle (E_{1})}$, то ${\displaystyle {\dot {E}}}$ есть ${\displaystyle {\dot {E}}_{1}}$.

Отличительной особенностью обратной польской нотации является то, что все аргументы (или операнды) расположены перед знаком операции. В общем виде запись выглядит следующим образом:

• Запись набора операций состоит из последовательности операндов и знаков операций. Операнды в выражении при письменной записи разделяются пробелами.
• Выражение читается слева направо. Когда в выражении встречается знак операции, выполняется соответствующая операция над двумя последними встретившимися перед ним операндами в порядке их записи. Результат операции заменяет в выражении последовательность её операндов и её знак, после чего выражение вычисляется дальше по тому же правилу.
• Результатом вычисления выражения становится результат последней вычисленной операции.

Например, рассмотрим вычисление выражения 7 2 3 * − (эквивалентное выражение в инфиксной нотации: 7 − 2 * 3).

1. Первый по порядку знак операции — «*», поэтому первой выполняется операция умножения над операндами 2 и 3 (они стоят последними перед знаком). Выражение при этом преобразуется к виду 7 6 − (результат умножения — 6, — заменяет тройку «2 3 *»).
2. Второй знак операции — «−». Выполняется операция вычитания над операндами 7 и 6.
3. Вычисление закончено. Результат последней операции равен 1, это и есть результат вычисления выражения.

Очевидное расширение обратной польской записи на унарные, тернарные и операции с любым другим количеством операндов: при использовании знаков таких операций в вычислении выражения операция применяется к соответствующему числу последних встретившихся операндов.

Особенности обратной польской записи следующие:

• Порядок выполнения операций однозначно задаётся порядком следования знаков операций в выражении, поэтому отпадает необходимость использования скобок и введения приоритетов и ассоциативности операций.
• В отличие от инфиксной записи, невозможно использовать одни и те же знаки для записи унарных и бинарных операций. Так, в инфиксной записи выражение 5 * (−3 + 8) использует знак «минус» как символ унарной операции (изменение знака числа), а выражение (10 − 15) * 3 применяет этот же знак для обозначения бинарной операции (вычитание). Конкретная операция определяется тем, в какой позиции находится знак. Обратная польская запись не позволяет этого: запись 5 3 − 8 + * (условный аналог первого выражения) будет интерпретирована как ошибочная, поскольку невозможно определить, что «минус» после 5 и 3 обозначает не вычитание; в результате будет сделана попытка вычислить сначала 5 − 3, затем 2 + 8, после чего выяснится, что для операции умножения не хватает операндов. Чтобы всё же записать это выражение, придётся либо переформулировать его (например, записав вместо выражения − 3 выражение 0 − 3), либо ввести для операции изменения знака отдельное обозначение, например, «±»: 5 3 ± 8 + *.
• Так же, как и в инфиксной нотации, в ОПН одно и то же вычисление может быть записано в нескольких разных вариантах. Например, выражение (10 − 15) * 3 в ОПН можно записать как 10 15 − 3 *, а можно — как 3 10 15 − *
• Из-за отсутствия скобок обратная польская запись короче инфиксной. За этот счёт при вычислениях на калькуляторах повышается скорость работы оператора (уменьшается количество нажимаемых клавиш), а в программируемых устройствах сокращается объём тех частей программы, которые описывают вычисления. Последнее может быть немаловажно для портативных и встроенных вычислительных устройств, имеющих жёсткие ограничения на объём памяти.

Эдсгер Дейкстра изобрёл алгоритм для преобразования выражений из инфиксной нотации в ОПЗ. Алгоритм получил название «сортировочная станция», за сходство его операций с происходящим на железнодорожных сортировочных станциях. Инфиксная нотация — это форма математических записей, которую использует большинство людей (например, 3 + 4 или 3 + 4 * (2 − 1)). Как и алгоритм вычисления ОПЗ, алгоритм сортировочной станции основан на стеке. В преобразовании участвуют две текстовых переменных: входная и выходная строки. В процессе преобразования используется стек, хранящий ещё не добавленные к выходной строке операции. Преобразующая программа читает входную строку последовательно символ за символом (символ — это не обязательно буква), выполняет на каждом шаге некоторые действия в зависимости от того, какой символ был прочитан.

Вход: 3 + 4 * 2 / (1 - 5)^2

Читаем «3»
 Добавим «3» к выходной строке
  Выход: 3

Читаем «+»
 Кладём «+» в стек
  Выход: 3
  Стек: +

Читаем «4»
 Добавим «4» к выходной строке
  Выход: 3 4
  Стек: +

Читаем «*»
 Кладём «*» в стек
  Выход: 3 4
  Стек: + *

Читаем «2»
 Добавим «2» к выходной строке
  Выход: 3 4 2
  Стек: + *

Читаем «/»
 Выталкиваем «*» из стека в выходную строку, кладём «/» в стек
  Выход: 3 4 2 *
  Стек: + /

Читаем «(»
 Кладём «(» в стек
  Выход: 3 4 2 *
  Стек: + / (

Читаем «1»
 Добавим «1» к выходной строке
  Выход: 3 4 2 * 1
  Стек: + / (

Читаем «−»
 Кладём «−» в стек
  Выход: 3 4 2 * 1
  Стек: + / ( −

Читаем «5»
 Добавим «5» к выходной строке
  Выход: 3 4 2 * 1 5
  Стек: + / ( -

Читаем «)»
 Выталкиваем «−» из стека в выходную строку, выталкиваем «(»
  Выход: 3 4 2 * 1 5 −
  Стек: + /

Читаем «^»
 Кладём «^» в стек
  Выход: 3 4 2 * 1 5 −
  Стек: + / ^

Читаем «2»
 Добавим «2» к выходной строке
  Выход: 3 4 2 * 1 5 − 2
  Стек: + / ^

Конец выражения
 Выталкиваем все элементы из стека в строку
  Выход: 3 4 2 * 1 5 − 2 ^ / +

Если вы пишете интерпретатор, то выходная строка, полученная после преобразования исходного выражения в обратную польскую нотацию, может храниться вместо исходного выражения для последующей интерпретации. Обратная польская нотация также позволяет компьютеру упрощать выражения.

Выражение
Инфиксная нотация: exp(-1/2*x)
Обратная Польская нотация: -1 2 / x * exp

Читаем: «-1»
 Кладём «-1» в стек
  Стек: -1

Читаем: «2»
 Кладём «2» в стек
  Стек: -1 2

Читаем: «/»
 Вычисляем частное, результат кладём в стек
  Стек: -0.5

Читаем: «x»
 Кладём «x» в стек со значением null
  Стек: -0.5 x(null)

Читаем: «*»
 Кладём «*» в стек со значением null
  Стек: -0.5 x(null) *(null)

Читаем «exp»
 Кладём «exp» в стек со значением null
  Стек: -0.5 x(null) *(null) exp(null)

Результат оптимизации: -0.5 x * exp

В статье «Обратная польская запись: примеры реализации» собраны примеры реализации обратной польской записи на различных языках программирования.

В качестве практического применения данной методики можно привести организацию байт-кода конфигураций прикладных решений системы 1С:Предприятие. Официального подтверждения компания 1С не дает, но пользователи данной системы на специализированных форумах приводят доказательства и алгоритмы, позволяющие декомпилировать исходные тексты.

• Т. Пратт, М. Зелковиц. Языки программирования: разработка и реализация = Terrence W. Pratt, Marvin V. Zelkowitz. Programming Languages: Design and Implementation. — 4-е издание. — Питер, 2002. — 688 с. — (Классика Computer Science). — 4000 экз. — ISBN 5-318-00189-0.

Языки программирования, использующие ОПН в качестве основной:

• Forth
• Factor
• Postscript
• Язык стилей оформления BibTeX

• Обратная польская нотация
• http://www.univer.omsk.ru/students/m84/docs/pol_zap.html
• Реализация польской инверсной записи (ПОЛИЗа) на PHP