Обратная задача классической теории рассеяния

Интегрирование ${\displaystyle d\sigma }$ по углу рассеяния определяет согласно формуле ${\displaystyle \int _{\chi }^{\pi }{\frac {d\sigma }{d\chi }}d\chi =\pi \rho ^{2}}$ квадрат прицельного расстояния, так что функцию ${\displaystyle \rho (\chi )}$ (а с ней и ${\displaystyle \chi (\rho )}$) можно считать заданной[4]. Вводим обозначения: ${\displaystyle s={\frac {1}{r}}}$, ${\displaystyle x={\frac {1}{\rho ^{2}}}}$, ${\displaystyle \omega ={\sqrt {1-{\frac {U}{E}}}}}$. Тогда формулы ${\displaystyle \chi =\left|\pi -2\varphi _{0}\right|}$, ${\displaystyle \varphi _{0}=\int _{r_{min}}^{\infty }{\frac {\left({\frac {M}{r^{2}}}\right)}{\sqrt {2m\left[E-U(r)\right]-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}}}$ запишутся в виде ${\displaystyle {\frac {\pi -\chi (x)}{2}}=\int _{0}^{s_{0}}{\frac {ds}{\sqrt {x\omega ^{2}-s^{2}}}}}$, где ${\displaystyle s_{0}(x)}$ - корень уравнения ${\displaystyle x\omega ^{2}(s_{0})-s_{0}^{2}=0}$. Разделив обе части уравнения ${\displaystyle {\frac {\pi -\chi (x)}{2}}=\int _{0}^{s_{0}}{\frac {ds}{\sqrt {x\omega ^{2}-s^{2}}}}}$ на ${\displaystyle {\sqrt {\alpha -x}}}$ и проинтегрировав по ${\displaystyle dx}$ в пределах от нуля до ${\displaystyle \alpha }$, найдем ${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {\pi -\chi (x)}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {\alpha -x}}}=\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{s_{0}(x)}{\frac {dsdx}{\sqrt {(x\omega ^{2}-s^{2})(\alpha -x)}}}=\pi \int _{0}^{s_{0}(\alpha )}{\frac {ds}{\omega }}}$. После интегрирования по частям в левой части равенства ${\displaystyle \pi {\sqrt {\alpha }}-\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\alpha -x}}{\frac {d\chi }{dx}}dx=\pi \int _{0}^{s_{0}(\alpha )}{\frac {ds}{\omega }}}$. Полученное соотношение дифференцируем по ${\displaystyle \alpha }$, после чего вместо ${\displaystyle s_{0}(\alpha )}$ пишем просто ${\displaystyle s}$, соответственно чему заменяем ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle {\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}}$. Написав равенство в дифференциалах, получим: ${\displaystyle \pi d\left({\frac {s}{\omega }}\right)-{\frac {1}{2}}d\left({\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}\right)\int _{0}^{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}{\frac {\chi '(x)dx}{\sqrt {{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}-x}}}={\frac {\pi }{\omega }}ds}$ или ${\displaystyle -\pi d\ln \omega =d\left({\frac {s}{\omega }}\right)\int _{0}^{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}{\frac {\chi '(x)dx}{\sqrt {{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}-x}}}}$. Это уравнение интегрируется непосредственно, причем в правой части следует изменить порядок интегрирования по ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle d(s/\omega )}$. Учитывая, что при ${\displaystyle s=0}$, то есть при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ должно быть ${\displaystyle \omega =1}$, то есть ${\displaystyle U=0}$ и возвращаясь к исходным переменным ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \rho }$ получим окончательный результат: ${\displaystyle \omega =\exp {{\frac {1}{\pi }}\int _{r\omega }^{\infty }\arctan {\frac {\rho }{r\omega }}{\frac {d\chi }{d\rho }}d\rho }=\exp {-{\frac {1}{\pi }}}\int _{r\omega }^{\infty }{\frac {\chi (\rho )d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}\omega ^{2}}}}}$. Данной формулой определяется в неявном виде зависимость ${\displaystyle \omega (r)}$ а тем самым и ${\displaystyle U(r)}$ при всех ${\displaystyle r>r_{min}}$ в той области значений, которая фактически проходится рассеиваемой частицей с заданной энергией ${\displaystyle E}$.

• Обратная задача
• Классическая механика
• Обратная задача квантовой теории рассеяния

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.