Обобщённый интеграл энергии

Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит[1].

Формулировка

Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа

имеют обобщённый интеграл энергии[2]:

Вывод

Рассмотрим голономную систему, имеющую степеней свободы, с функцией Лагранжа

,

зависящей от обобщённых координат , обобщённых скоростей и времени , здесь и ниже всюду .

Дифференцируя по времени функцию , получаем

.

Из уравнений Лагранжа

следует, что

.

Тогда получаем:

.

Пользуясь этим, имеем:

Или:

.

Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то и

Из этого следует:

Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби[2].

Примечания

Литература

  • Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. — 264 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.