Нормирование (алгебра)

• Нормирование, при котором ${\displaystyle \|0\|=0}$, ${\displaystyle \|x\|=1}$ для остальных ${\displaystyle x}$. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и модуль в поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ являются нормированием.
• Пусть ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — поле рациональных чисел, а ${\displaystyle p}$ — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не кратны ${\displaystyle p}$. Можно определить следующее нормирование ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского, любая нетривиальная норма на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентна либо абсолютной величине ${\displaystyle |x|}$, либо р-адическому нормированию.

• ${\displaystyle |1|=|-\!1|=1}$
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство ${\displaystyle |\;|x|-|y|\;|\leqslant |x-y|}$ (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число ${\displaystyle A}$, такое, что для любой суммы единичных элементов поля ${\displaystyle F}$:

3b) ${\displaystyle \|1+1+...+1\|\leqslant A}$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из поля ${\displaystyle F}$ имеем:

${\displaystyle |(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{n-i}\,y^{i}+\ldots +y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}}$

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при ${\displaystyle n\to \infty }$, получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля ${\displaystyle F}$ как норму разности ${\displaystyle \|x-y\|}$, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в ${\displaystyle F}$.

Пусть ${\displaystyle v}$ — отображение из мультипликативной группы поля ${\displaystyle K^{*}}$ в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$

2) ${\displaystyle v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))}$

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: ${\displaystyle v(0)=\infty }$. Групповая операция на ${\displaystyle \infty }$ определена следующим образом: ${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty }$ для любого ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \infty }$ упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения ${\displaystyle v}$ называют группой нормирования, а множество тех элементов ${\displaystyle x}$ поля ${\displaystyle K}$, для которых ${\displaystyle v(x)\geqslant 0}$ — кольцом нормирования (обозначение — ${\displaystyle R_{v}}$), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.