Неравенство Эрдёша — Морделла

Пусть точка ${\displaystyle M}$ лежит внутри треугольника ${\displaystyle ABC}$. Обозначим расстояния от точки ${\displaystyle M}$ до сторон ${\displaystyle BC,CA,AB}$ треугольника через ${\displaystyle d_{a},d_{b},d_{c}}$, а расстояния от точки ${\displaystyle M}$ до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ через ${\displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}}$. Тогда

${\displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}\geqslant 2(d_{a}+d_{b}+d_{c}).}$

Эрдёш выдвинул это утверждение в качестве гипотезы в 1935 году (Erdős 1935). Через два года доказательство дал Морделл (Mordell & Barrow 1937). Однако его доказательство было весьма сложным. Более простые доказательства даны в (Kazarinoff 1957), (Bankoff 1958) и (Alsina & Nelsen 2007).

• А. Егоров. Треугольники и неравенства // Квант. — 2005. — № 2. — С. 32—33.
• Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), A visual proof of the Erdős-Mordell inequality, Forum Geometricorum Т. 7: 99–102, <http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html> Архивная копия от 16 июля 2020 на Wayback Machine
• Bankoff, Leon (1958), An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem, American Mathematical Monthly Т. 65 (7): 521
• Erdős, Paul (1935), Problem 3740, American Mathematical Monthly Т. 42: 396
• Kazarinoff, D. K. (1957), A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles, Michigan Mathematical Journal Т. 4 (2): 97–98, DOI 10.1307/mmj/1028988998
• Mordell, L. J. & Barrow, D. F. (1937), Solution to 3740, American Mathematical Monthly Т. 44: 252–254