Неравенство Лоясевича

Пусть функция ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ является вещественно аналитической на непустом открытом множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ и пусть ${\displaystyle Z=\{x\in U:f(x)=0\}}$ — множество нулей функции ${\displaystyle f}$. Если множество ${\displaystyle Z}$ непусто, то для любого непустого компакта ${\displaystyle K\subset U}$ существуют такие константы ${\displaystyle \alpha \geq 2}$ и ${\displaystyle C>0}$, что имеет место неравенство

${\displaystyle \inf _{z\in Z}|x-z|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,}$

число ${\displaystyle \alpha }$ в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки ${\displaystyle p\in U}$ существует достаточно малая её окрестность ${\displaystyle W\subset U}$ и такие константы ${\displaystyle 0<\beta <1}$ и ${\displaystyle C>0}$, что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

${\displaystyle |f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.}$

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.

• Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087
• Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
• Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets, Publications Mathématiques de l'IHÉS (no. 67): 5–42, MR: 972342, ISSN 1618-1913, <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0>
• Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A global Łojasiewicz inequality for algebraic varieties, Transactions of the American Mathematical Society Т. 329 (2): 813–818, MR: 1046016, ISSN 0002-9947, doi:10.2307/2153965, <http://www.ams.org/journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/>