Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу

Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.

Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа, и пусть ${\displaystyle c_{1}=c_{1}(X)}$ и ${\displaystyle c_{2}=c_{2}(X)}$ — первый и второй класс Чжэня комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.}$

Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении гипотезы Калаби.

Поскольку ${\displaystyle c_{2}(X)=e(X)}$ является топологической характеристикой Эйлера, а по теореме о сигнатуре Тома — Хирцебруха ${\displaystyle c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)}$, где ${\displaystyle \sigma (X)}$ является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:

${\displaystyle \sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),}$

и более того, если ${\displaystyle \sigma (X)=(1/3)e(X)}$, универсальное покрытие является шаром.

Вместе с неравенством Нётера неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется географией поверхностей. См. статью Поверхности общего типа.

Пусть X — поверхность общего типа с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$, так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу[1] доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$ по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель[8] показал, что существует бесконечно много значений ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$, для которых поверхности существуют. Мамфорд[9] нашёл ложную проективная плоскость с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=9}$, которая имеет минимальное возможное значение, поскольку ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}}$ всегда делится на 12, а Прасад и Йен[10][11], а также Картрайт и Стегер[12] показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер[13] дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4}}$. Исида[14] нашёл фактор такой поверхности с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=45}$ и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=45}$ для любого положительного k. Картрайт и Стегер [12] нашли примеры с ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=9n}$ для любого положительного целого n.