Надстройка (топология)

В топологии, надстройкой над топологическим пространством X называется топологическое пространство SX, являющееся фактором произведения $X\times [0,1]$ по отношению эквивалентности $(x,0)\sim (x',0),\quad (x,1)\sim (x',1)$ :

SX=(X\times [0,1])/\{\forall x_{1},x_{2}\in X\quad (x_{1},0)\sim (x_{2},0),\quad (x_{1},1)\sim (x_{2},1)\}

Надстройка над окружностью. Исходное пространство отмечено синим, верхняя и нижняя точки зелёным.

Грубо говоря, надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

Свойства

Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну $X\star S^{0}$ пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») $S^{0}$ .
Любое непрерывное отображение $f:X\to Y$ продолжается до отображения $Sf:SX\to SY$ по правилу $Sf(x,t)=(f(x),t)$ .
Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: ${\overline {H}}_{k}(SX)={\overline {H}}_{k-1}(X)$ для всех k.

См. также

Ссылки

Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.