Наблюдатель (динамические системы)

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Для измерения положения ротора они используют магнитную неоднородность свойств двигателя. Например, несимметричность обмоток или неоднородность магнитной проницаемости.

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Они определяют положение вращающейся системы координат, используя внутренние сигналы системы управления, зависящие от ошибки ее ориентирования. Их можно назвать адаптивными, так как они сводят ошибку ориентирования к нулю. По положению вращающейся системы координат оценивается скорость ротора.

Этот наблюдатель представляет собой некоторый цифровой фильтр, алгоритм которого строится с учетом законов математической статистики. Он позволяет восстанавливать неизвестный параметр, минимизирует при этом влияние помех измерения известных величин.

Наблюдатель на основе фильтра Калмана характеризуется сложностью вычислительного алгоритма и теоретически должен позволять получать высокую точность наблюдения. На практике параметры системы точно не известны и, более того, еще могут и изменяются в процессе работы. Это ограничивает точность и область использования, казалось бы, идеального наблюдателя.[1]

${\displaystyle {\dot {q}}(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t)}$ (1)

${\displaystyle z(t)=Kq(t)+Ly(t)+Mu(t)}$ (2)

является наблюдателем для системы

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$ (3),

${\displaystyle y(t)=Cx(t)}$ (4),

если для каждого начального состояния ${\displaystyle x(t_{0})}$ системы (3)-(4) существует начальное состояние ${\displaystyle q_{0}}$ для системы (1)-(2), такое, что равенство ${\displaystyle q(t_{0})=q_{0}}$ приводит к ${\displaystyle z(t)=x(t),t\geq t_{0}}$ при всех управлениях ${\displaystyle u(t),t\geq t_{0}}$.

Здесь ${\displaystyle A,B,C,F,G,H,K,L,M}$ — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность ${\displaystyle q(t)}$ равна размерности ${\displaystyle x(t)}$ и выполнение условия ${\displaystyle q(t_{0})=x(t_{0})}$ дает ${\displaystyle q(t)=x(t),t\geq t_{0}}$ при всех управлениях ${\displaystyle u(t),t\geq t_{0}}$, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle x(t)}$, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени ${\displaystyle t}$. ${\displaystyle r}$-мерный вектор ${\displaystyle u(t)}$ описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

${\displaystyle l}$-мерный вектор ${\displaystyle y(t)}$ представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно ${\displaystyle l<n}$. ${\displaystyle y(t)}$ называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F(t)=A(t)-K(t)C(t)}$, ${\displaystyle G(t)=K(t)}$, ${\displaystyle H(t)=B(t)}$, где ${\displaystyle K(t)}$ является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

${\displaystyle {\dot {q}}(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)]}$ (5).

Матрица ${\displaystyle K(t)}$ называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

${\displaystyle {\dot {q}}(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)}$,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

${\displaystyle A(t)-K(t)C(t)}$.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления ${\displaystyle K}$, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы ${\displaystyle A-KC}$, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

${\displaystyle e(t)=x(t)-q(t)}$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\dot {e}}(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t)}$.

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

${\displaystyle e(t)\to 0}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$

для всех ${\displaystyle e(t_{0})}$ тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления ${\displaystyle K}$, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной ${\displaystyle y(t)}$.