Модулярная решётка

Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов ${\displaystyle a,b\in L}$ модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

${\displaystyle \forall x\in L:x\leqslant b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b}$.

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

${\displaystyle N_{5}}$ — наименьшая немодулярная решётка

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон ${\displaystyle N_{5}}$, любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ интервалы ${\displaystyle [a\wedge b,b]}$ и ${\displaystyle [a,a\vee b]}$ изоморфны, прямое отображение: ${\displaystyle \phi (x)=x\vee a}$, обратное — ${\displaystyle \psi (y)=y\wedge b}$.

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент ${\displaystyle a}$ называется левомодулярным, если для любого элемента ${\displaystyle b}$ пара ${\displaystyle a,b}$ модулярна.

Элемент ${\displaystyle b}$ называется правомодулярным, если для любого элемента ${\displaystyle a}$ пара ${\displaystyle a,b}$ модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.