Множество Мейера

Подмножество X метрического пространства относительно плотно, если существует число r, такое что для всех точек множества X расстояние до остальных точек X не превосходит r. Подмножество равномерно дискретно, если существует число ${\displaystyle \varepsilon }$, такое что никакие две точки X не находятся ближе друг от друга, чем на расстоянии ${\displaystyle \varepsilon }$. Когда множество относительно плотно и, одновременно, равномерно дискретно, оно называется множеством Делоне. Если X является подмножеством векторного пространства, его разность Минковского ${\displaystyle X-X}$ – это множество ${\displaystyle \{x-y\mid x,y\in X\}}$ различных пар элементов множества X[3].

С этими определениями множество Мейера можно определить как относительно плотное множество X, для которого ${\displaystyle X-X}$ равномерно дискретно. Эквивалентно, это множество Делоне, для которого ${\displaystyle X-X}$ является множеством Делоне[1], или множество Делоне X, для которого существует конечное множество F, такое что ${\displaystyle X-X\subset X+F}$[4].

Некоторые дополнительные эквивалентные описания используют множество

${\displaystyle X^{\varepsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leqslant \varepsilon {\text{ для всех }}x\in X\},}$

определённое для данного множества X и числа ${\displaystyle \varepsilon }$ и аппроксимирующее (при стремлению ${\displaystyle \varepsilon }$ к нулю) определение обратной решётки. Относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда

• Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0,X^{\varepsilon }}$ относительно плотно, или, эквивалентно,
• Существует ${\displaystyle \varepsilon }$ (${\displaystyle 0<\varepsilon <1/2}$), для которого ${\displaystyle X^{\varepsilon }}$ относительно плотно[1].

Характер замкнутого по сложению подмножества векторного пространства – это функция, отображающая множество в единичную окружность на плоскости комплексных чисел таким образом, что сумма любых двух элементов отображается в произведение их образов. Множество X является гармоничным множеством, если для любого характера ${\displaystyle \chi }$ на аддитивном замыкании X и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует непрерывный характер на всём пространстве, ${\displaystyle \varepsilon }$-аппроксимирующий ${\displaystyle \chi }$. Тогда относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично[1].

Множествами Мейера являются

• Точки любой решётки
• Вершины плиток ромбической мозаики Пенроуза [5].
• Сумма Минковского другого множества Мейера с любым непустым конечным множеством [4]
• Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера [6].