Многочлен Эрхарта

Пусть ${\displaystyle P}$ — многогранник с целыми вершинами, и ${\displaystyle t\cdot P}$ — его гомотетия с целым коэффициентом ${\displaystyle t}$. Обозначим через ${\displaystyle L_{P}(t)}$ число целых точек в ${\displaystyle t\cdot P}$. Можно доказать, что число ${\displaystyle L_{P}(t)}$ выражается как многочлен от ${\displaystyle t}$; этот многочлен и называется многочленом Эрхарта.

• ${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d}}$ для единичного целого ${\displaystyle d}$-мерного куба ${\displaystyle Q}$.

• (Взаимность Эрхарта — Макдональда) Число внутренних целых точек в ${\displaystyle t\cdot P}$ равно

  ${\displaystyle (-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),}$

где d — размерность P.

• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$, выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрхарта.[1]

• Для любого ${\displaystyle d}$-мерного многогранника ${\displaystyle P}$, три коэффициента многочлена Эрхарта имеют простую интерпретацию
  • свободный член многочлена Эрхарта равен 1.
  • Главный коэффициент при ${\displaystyle t^{d}}$ равен объёму многогранника.
  • Коэффициент при ${\displaystyle t^{d-1}}$ равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
• В частности, при ${\displaystyle d=2}$ многочлен Эрхарта многоугольника равен

  ${\displaystyle S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,}$

где ${\displaystyle S}$ есть площадь многоугольника, а ${\displaystyle \Gamma }$ — число целочисленных точек на его границе. Подставив ${\displaystyle t=1}$, получаем формулу Пика.

• Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Сборник «Математическое просвещение». Третья серия. — 2017. — Вып. 21. — С. 104—118.