Мельница (теория графов)
В теории графов «мельница» Wd(k,n) — это неориентированный граф, построенный для k ≥ 2 и n ≥ 2 путём объединения n копий полных графов Kk в одной общей вершине. То есть это сумма по 1-клике этих полных графов[1].
Граф «Мельница» | |
---|---|
Вершин | (k-1)n+1 |
Рёбер | nk(k−1)/2 |
Радиус | 1 |
Диаметр | 2 |
Обхват | 3 при k > 2 |
Хроматическое число | k |
Хроматический индекс | n(k-1) |
Обозначение | Wd(k,n) |
Медиафайлы на Викискладе |
Свойства
Граф имеет (k-1)n+1 вершин и nk(k−1)/2 рёбер [2], обхват 3 (при k > 2), радиус 1 и диаметр 2. Граф имеет вершинную связность 1, поскольку его центральная вершина является точкой сочленения. Однако, подобно полным графам, из которых он образован, он является рёберно (k-1)-связным. Граф является тривиально совершенным графом и блоковым графом.
Специальные случаи
По построению мельница Wd(3,n) является графом дружеских отношений Fn, мельница Wd(2,n) является звездой Sn, а мельница Wd(3,2) является «бабочкой».
Разметка и раскраска
Граф «мельница» имеет хроматическое число k и хроматический индекс n(k-1). Его хроматический многочлен может быть получен из хроматического полинома полного графа и равен
Доказано, что граф «мельница» Wd(k,n) не является грациозным, если k > 5[3]. В 1979 Бермонд высказал гипотезу, что Wd(4,n) является грациозным для всех n ≥ 4[4]. Известно, что это верно для n ≤ 22[5]. Бермонд, Котциг и Тургеон доказали, что Wd(k,n) не является грациозными при k = 4 и n = 2 или n = 3, и при k = 5 и n = 2[6]. Мельница Wd(3,n) грациозна тогда и только тогда, когда n ≡ 0 (mod 4) или n ≡ 1 (mod 4)[7].
Галерея
Примечания
- Gallian, 2007, с. 1-58.
- Weisstein, Eric W. Windmill Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Koh, Rogers, Teo, Yap, 1980, с. 559-571.
- Bermond, 1979, с. 18-37.
- Huang, Skiena, 1994, с. 225-242.
- Bermond, Kotzig, Turgeon, 1978, с. 135-149.
- Bermond, Brouwer, Germa, 1978, с. 35-38.
Литература
- J. A. Gallian. Dynamic Survey DS6: Graph Labeling // Electronic J. Combinatorics. — 2007. — Вып. DS6.
- K. M. Koh, D. G. Rogers, H. K. Teo, K. Y. Yap. Graceful graphs: some further results and problems // Congr. Numer.. — 1980. — Вып. 29.
- J.C. Bermond. Graph Theory and Combinatorics. — London: Pitman, 1979. — Т. 34. — (Research Notes in Mathematics).
- J. Huang, S. Skiena. Gracefully labeling prisms // Ars Combinatoria. — 1994. — Вып. 38.
- J. C. Bermond, A. Kotzig, J. Turgeon. Proc. 18 Hungarian Combinatorial Colloquium, Keszthely (1976) / A. Hajnal and V. T. Sos, eds.. — North-Holland, Amsterdam, 1978. — (Colloquia mathematica Societatis János Bolyai).
- J.C. Bermond, A. E. Brouwer, A. Germa. Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes. — Paris: Editions du Centre Nationale de la Recherche Scientifique, 1978. — Т. 260. — (Colloq. Intern. du CNRS).