Матрица Лемера

Матрица Лемера — симметричная матрица ${\displaystyle L^{n}}$, определяемая для каждого ${\displaystyle n>1}$ как:

${\displaystyle L_{ij}^{n}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}}$.

Названа в честь Деррика Лемера.

Каждая из матриц Лемера ${\displaystyle L^{n}}$ является подматрицей ${\displaystyle L^{n+m}}$ (то есть ${\displaystyle L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^{n}}$ для всех ${\displaystyle i,j\leqslant n}$). Значения элементов уменьшаются по мере удаления от главной диагонали; поскольку все элементы главной диагонали равны 1, то след ${\displaystyle L^{n}}$ равен ${\displaystyle n}$.

Обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Подматрица размерности ${\displaystyle n\times n}$ обратной к матрице Лемера ${\displaystyle L^{n+m}}$ совпадает с обратной к матрице ${\displaystyle L^{n}}$ за исключением элемента с индексом ${\displaystyle (n,n)}$.

Матрицы Лемера размеров 2×2, 3×3 и 4×4 и обратные к ним:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {BrickRed}\mathbf {4/3} }\end{pmatrix}}\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {BrickRed}\mathbf {9/5} }\end{pmatrix}}\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}}&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {BrickRed}\mathbf {16/7} }\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$