Матрицант

Матрица́нт — фундаментальная матрица решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

— однопараметрическое семейство матриц.

нормированная в точке . (Также матрицантом иногда называют матрицу Коши системы дифференциальных уравнений.)

Матрицант является единственным непрерывным решением матричной задачи Коши

, ( — единичная матрица)

если матричная функция локально суммируема на некотором интервале.

Любое решение системы записывается в виде .

Представление в виде ряда

Для матрицанта справедливо разложение в ряд

Представление в виде экспоненты

Если матрица удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского:

где — коммутатор, то матрицант примет вид:

В общем случае решение может быть записано через T-экспоненту:

Определитель матрицанта

Определитель матрицанта является определителем Вронского фундаментальной нормированной системы решений соответствующего дифференциального уравнения. Для него справедлива формула Лиувилля-Остроградского

Тогда с учётом формула Лиувилля-Остроградского для определителя Вронского произвольной системы решений примет вид:

Литература

Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.