Марковский момент времени

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_{n}\}_{n\geq 0}$ . Тогда случайная величина $\tau$ называется марковским моментом (времени), если для любого $n\geq 0$ событие $\{\tau \leq n\}$ зависит только от случайных величин $Y_{0},\ldots ,Y_{n}$ .

Пример

Пусть $\{Y_{n}\}_{n\geq 0}$ — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть $L\in \mathbb {R}$ , и

\tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

— момент первого достижения процессом $\{Y_{n}\}$ уровня $L$ . Тогда $\tau$ — марковский момент, ибо $\tau \leq n$ тогда и только тогда, когда существует $i\in \mathbb {N} ,\;0\leq i\leq n$ такое, что $Y_{i}\geq L$ . Таким образом событие $\{\tau \leq n\}$ зависит лишь от поведения процесса до момента времени $n$ .

Пусть теперь

\sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

— момент последнего достижения процессом $\{Y_{n}\}$ уровня $L$ . Тогда $\sigma$ не является марковским моментом, ибо событие $\{\sigma \leq n\}$ предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ с фильтрацией $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ , где $T\subset [0,\infty )$ . Тогда случайная величина $\tau$ принимающая значения в $T\cup \{\infty \}$ называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T$ .

Если дан процесс $\{X_{t}\}_{t\in T}$ , и ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)$ — его естественные σ-алгебры, то говорят, что $\tau$ — марковский момент относительно процесса $\{X_{t}\}$ .

Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

\mathbb {P} (\tau <\infty )=1

.

Свойства

Если $\tau$ и $\sigma$ — марковские моменты, то

$\tau +\sigma$ — марковский момент;
$\tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau ,\sigma )$ — марковский момент;
$\tau \vee \sigma \equiv \max(\tau ,\sigma )$ — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть $\{W_{t}\}_{t\geq 0}$ — стандартный винеровский процесс. Пусть $\alpha >0$ . Определим

\tau =\inf\{t\geq 0\mid W_{t}\geq \alpha \}

.

Тогда $\tau$ — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

f_{\tau }(t)={\frac {\alpha }{\sqrt {2\pi t^{3}}}}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{2t}}},\quad t\geq 0

.

В частности $\tau$ — момент остановки. Однако,

\mathbb {E} \tau =\infty

.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.