Линеаризация обратной связью

Задача линеаризации обратной связью состоит в построении преобразованной системы, состояния которой — выход ${\displaystyle y}$ и его первые ${\displaystyle (n-1)}$ производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.}$

Теперь мы можем определить производную Ли от ${\displaystyle h(x)}$ через ${\displaystyle f(x)}$ как:

${\displaystyle L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x),}$

и, аналогично, производную Ли от ${\displaystyle h(x)}$ через ${\displaystyle g(x)}$ как:

${\displaystyle L_{g}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x).}$

Введя данные обозначения, определяем ${\displaystyle {\dot {y}}}$ как:

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.}$

Следует отметить, что применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например:

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}f(x)}$

и

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}g(x).}$

В линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной ${\displaystyle y}$ и её первых ${\displaystyle (n-1)}$ производных. Необходимо понять как вход ${\displaystyle u}$ вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень ${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ если:

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$ в окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ для всех ${\displaystyle k\leq r-2}$:

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

Таким образом, относительной степенью системы по выводу[1] ${\displaystyle y}$ можно считать то количество раз, которое нужно продифференцировать по времени выход ${\displaystyle y}$ до момента, когда управление ${\displaystyle u}$ появится в выходном сигнале ${\displaystyle y}$ явно.

В то же время в теории линейных стационарных систем относительная степень — это разница между степенями полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна ${\displaystyle n}$. В этом случае, дифференцируя выход ${\displaystyle n}$ раз, имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},}$

где ${\displaystyle y^{(n)}}$ означает ${\displaystyle n}$ю производную от ${\displaystyle y}$.

Учитывая, что относительная степень системы равна ${\displaystyle n}$, производные Ли формы ${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$ for ${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$ все равны нулю. Это означает, что вход ${\displaystyle u}$ не вносит прямого вклада в любую из ${\displaystyle (n-1)}$ первых производных.

Преобразование ${\displaystyle T(x)}$, приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых ${\displaystyle (n-1)}$ производных. В частности:

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат ${\displaystyle x}$ в новую ${\displaystyle z}$. Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве ${\displaystyle z}$, который также будет гладким. Данные траектории в пространстве ${\displaystyle z}$ описывают новую систему:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

Таким образом, закон управления обратной связи ${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$ является линейной передаточной функцией от ${\displaystyle v}$ к ${\displaystyle z_{1}=y}$.

Получаемая в результате линеаризованная система:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

представляет собой каскад из ${\displaystyle n}$ интеграторов, и управление ${\displaystyle v}$ может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем. В частности, закон управления ${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$ где вектор состояния ${\displaystyle z}$ включает выход ${\displaystyle y}$ и его первые ${\displaystyle (n-1)}$ производные, что в результате даёт линейную систему

${\displaystyle {\dot {z}}=Az,}$

где

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, выбирая соответствующие ${\displaystyle k}$, можно произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.