Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского

Частный случай критерия (для линейных однородных уравнений второго порядка) был доказан французским математиком Лиувиллем в 1839 году. Развивая метод Лиувилля, русский математик Мордухай-Болтовской в 1910 году доказал критерий для уравнений произвольного порядка[1]:

Дифференциальное уравнение n-го порядка

${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0}$

с коэффициентами ${\displaystyle p_{i}}$ из функционального дифференциального поля ${\displaystyle K}$, все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, тогда и только тогда, когда выполнены оба следующие условия:

• Во-первых, оно имеет решение вида

${\displaystyle y_{1}(x)=\exp \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,}$

где ${\displaystyle f}$ — функция, лежащая в некотором алгебраическом расширении ${\displaystyle K_{1}}$ поля ${\displaystyle K}$,

• Во-вторых, дифференциальное уравнение (n−1)-го порядка на функцию ${\displaystyle z=y'-{\frac {y_{1}'}{y_{1}}}y}$ с коэффициентами из поля ${\displaystyle K_{1}}$, полученное из исходного уравнения процедурой понижения порядка, решается в обобщенных квадратурах над полем ${\displaystyle K_{1}}$.

• А. Г. Хованский. Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. — М.: Издательство МЦНМО, 2008. — 296 с.