Корневой граф

Корневое дерево — дерево, в котором выделена одна вершина (корень дерева). Формально корневое дерево определяется как конечное множество ${\displaystyle T}$ одного или более узлов со следующими свойствами:

1. существует один корень дерева ${\displaystyle T}$;
2. остальные узлы (за исключением корня) распределены среди ${\displaystyle m\geq 0}$ непересекающихся множеств ${\displaystyle T_{1},...,T_{m}}$, и каждое из множеств является корневым деревом; деревья ${\displaystyle T_{1},...,T_{m}}$ называются поддеревьями данного корня ${\displaystyle T}$.

• Уровень узла — длина пути от корня до узла. Можно определить рекурсивно:

1. уровень корня дерева ${\displaystyle T}$ равен 0;
2. уровень любого другого узла на единицу больше, чем уровень корня ближайшего поддерева дерева ${\displaystyle T}$, содержащего данный узел.

• Дерево с отмеченной вершиной называется корневым деревом.
  • ${\displaystyle m}$-й ярус дерева ${\displaystyle T}$ — множество узлов дерева, на уровне ${\displaystyle m}$ от корня дерева.
  • частичный порядок на вершинах: ${\displaystyle u\prec v}$, если вершины ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ различны и вершина ${\displaystyle u}$ лежит на (единственной!) элементарной цепи, соединяющей корень с вершиной ${\displaystyle v}$.
  • корневое поддерево с корнем ${\displaystyle v}$ — подграф ${\displaystyle \{v\}\cup \{w\mid v<w\}}$.
  • В контексте, где дерево предполагается имеющим корень, дерево без выделенного корня называется свободным.

• C. D. Godsil, B. D. McKay. A new graph product and its spectrum // Bull. Austral. Math. Soc. — 1978. — Т. 18, вып. 1. — С. 21—28. — doi:10.1017/S0004972700007760.
• Frank Harary. The number of linear, directed, rooted, and connected graphs // Transactions of the American Mathematical Society. — 1955. — Вып. 78. — С. 445—463. — doi:10.1090/S0002-9947-1955-0068198-2.

• Weisstein, Eric W. Rooted Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.