Интерполяционные ряды

Интерполяцио́нные ряды́ вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры — бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко пользовались Эйлер, Лагранж и Лаплас, в XIX в. — Гаусс, Абель и Коши. В конце XIX в. обобщение задач интерполирования послужило одним из источников проблемы моментов в работах Чебышёва, Стилтьеса и Маркова.

Построение интерполяционного ряда, или интерполяционный процесс, определяется последовательностью линейных непрерывных функционалов ${\displaystyle {\Phi _{i}}~(i=0,1,2,\ldots )}$ в линейном топологическом пространстве. При этом имеется также такая последовательность функций ${\displaystyle \textstyle {\varphi _{j}}~(j=0,1,2,\ldots )}$, что

${\displaystyle \Phi _{i}[\varphi _{j}]=\delta _{ij},}$

где ${\displaystyle \textstyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера (${\displaystyle \textstyle \delta _{ij}=1}$, если ${\displaystyle \textstyle i=j}$; иначе ${\displaystyle \textstyle \delta _{ij}=0}$). Последовательность ${\displaystyle \textstyle {\varphi _{j}(x)}}$ называется базисом фундаментальных полиномов интерполяционного процесса. Интерполяционным рядом функции ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ называется формальное выражение

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }\Phi _{k}[f]\varphi _{k}(x).}$

Если этот ряд сходится, то его сумма ${\displaystyle \textstyle S(x)}$ удовлетворяет равенствам

${\displaystyle \textstyle \Phi _{k}[S(x)]=\Phi _{k}[f(x)]}$

при ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$ независимо от того, равна сумма ${\displaystyle \textstyle S(x)}$ исходной функции ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ или нет. Совокупность этих равенств выражает обобщение обычной задачи интерполирования функции по её значениям в последовательности точек.