Закон движения

Простейшим случаем движения материальной точки является равномерное и прямолинейное движение, то есть движение с постоянной по модулю и направлению скоростью. В этом случае её закон движения выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t}$,

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радиус-вектор, характеризующий положение точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — вектор скорости материальной точки.

Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора скорости, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$, то закон принимает особо простую форму:

${\displaystyle x(t)=vt}$,

где ${\displaystyle v}$ — модуль вектора скорости материальной точки.

Другим важным частным случаем является прямолинейное движение с постоянным ускорением. В этом случае закон движения имеет вид:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ — вектор скорости материальной точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — вектор ускорения материальной точки.

Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора ускорения, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$, то закон принимает более простую форму:

${\displaystyle x(t)=v_{0x}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle v_{0x}}$ — проекция вектора скорости материальной точки на ось x в момент времени ${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle a}$ — модуль вектора ускорения материальной точки.

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью (или, что то же самое с постоянной угловой скоростью) вектор ускорения направлен строго перпендикулярно вектору скорости в сторону центра окружности. В этом случае закон движения может быть записан в следующем виде:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {a_{n}{\vec {n}}(t)t^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle a_{n}}$ — так называемое нормальное ускорение, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру окружности, то есть ${\displaystyle ({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})=0}$. Величина ${\displaystyle a_{n}}$ постоянна и равна ${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R}$. Вектор ${\displaystyle {\vec {n}}}$ равномерно вращается с угловой скоростью ${\displaystyle \omega ={\frac {v}{R}}}$, где R — радиус окружности, по которой движется материальная точка.

Удобнее при рассмотрении движения по окружности перейти к угловым переменным: углу ${\displaystyle \varphi }$, угловой скорости ${\displaystyle \omega }$ и угловому ускорению ${\displaystyle \varepsilon }$. В этих переменных закон равномерного движения по окружности принимает следующий вид:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t}$

При равноускоренном движении по окружности вектор ускорения меняет как своё направление, так и величину модуля. Постоянным остаётся только так называемая тангенциальная составляющая ускорения, равная проекции вектора ускорения на прямую, вдоль которой направлен вектор скорости (эта же прямая является касательной к окружности, по которой движется материальная точка). Закон движения может быть при этом записан в следующем виде:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {\left(a_{n}(t){\vec {n}}(t)+a_{\tau }{\vec {s}}(t)\right)t^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle a_{\tau }}$ — тангенциальное ускорение, ${\displaystyle {\vec {s}}}$ — единичный вектор касательной к окружности. Величина ${\displaystyle a_{\tau }}$ остаётся постоянной, величина ${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}(t)}{R}}}$ изменяется с изменением модуля скорости, вектора ${\displaystyle {\vec {n}}}$ и ${\displaystyle {\vec {s}}}$ вращаются с переменной угловой скоростью ${\displaystyle \omega (t)={\frac {v(t)}{R}}}$.

В угловых переменных закон равноускоренного движения по окружности имеет более простой вид:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+\omega _{0}t+{\frac {\varepsilon t^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a_{\tau }}{R}}}$.