Закон Рэлея — Джинса

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей ${\displaystyle kT}$. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}}$.

Зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

В нашем случае скорость ${\displaystyle v}$ следует положить равной ${\displaystyle c}$, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда выписанное выражение вдобавок следует помножить на два:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=kT}$. Помножив на ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$, получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$:

${\displaystyle u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {\varepsilon }}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega }$,

тогда:

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$» к аргументу «длина волны ${\displaystyle \lambda }$» (${\displaystyle \omega =2\pi c/\lambda }$):

${\displaystyle u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\lambda }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}}$.

Также можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$» к аргументу «частота ${\displaystyle \nu }$» в герцах (${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$):

${\displaystyle u(\nu ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\nu }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot 2\pi ={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}$.

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ ${\displaystyle u}$ снабжают значком: ${\displaystyle u_{\omega }}$, ${\displaystyle u_{\nu }}$ или ${\displaystyle u_{\lambda }}$.

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения ${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)}$, для ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ находим:

${\displaystyle I(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}}$.

Выражения для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ называют формулой Рэлея — Джинса.

Формулы для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ по ${\displaystyle \omega }$ в пределах от 0 до ${\displaystyle \infty }$ для равновесной плотности энергии ${\displaystyle u(T)}$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях ${\displaystyle u(T)}$. Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции ${\displaystyle u(\omega ,T)}$, соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка.