Закон Беца

1. Ротор не имеет ступицы и идеален, с бесконечным количеством лопастей, которые не имеют сопротивления.
2. Поток имеет строго осевое направление. Весь поток, падающий на диск, полностью проходит сквозь него и выходит с обратной стороны.
3. Поток несжимаемый. Плотность остается постоянной, теплоотдача отсутствует.
4. Усилие на диск или ротор равномерное.

Применяя к объёму воздуха, проходящему через ротор, закон сохранения массы, получим выражение для массового расхода (массы воздуха, проходящего через ротор за единицу времени):

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},}$

где ${\displaystyle v_{1}}$ — скорость потока перед ротором; ${\displaystyle v_{2}}$ — скорость потока за ротором;, ${\displaystyle v}$ — скорость на гидравлическом силовом устройстве; ${\displaystyle \rho }$ — плотность воздуха; ${\displaystyle S}$ — площадь ротора; ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ — сечение потока воздуха, падающего на ротор и выходящего из него.

Таким образом, произведение плотности, сечения потока и скорости должно быть одинаковым в каждой из трех областей: до ротора, при прохождении через ротор и после.

Сила, действующая на поток воздуха со стороны ротора, равна массе воздуха, умноженной на его ускорение. В терминах плотности, сечения и скорости потока это можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=ma=m{\frac {dv}{dt}}={\dot {m}}\,\Delta v=\rho Sv(v_{1}-v_{2}).\end{aligned}}}$

Работу, совершаемую силой, можно в дифференциальной форме записать как

${\displaystyle dE=F\,dx,}$

тогда мощность потока воздуха

${\displaystyle P={\frac {dE}{dt}}=F{\frac {dx}{dt}}=Fv.}$

Заменяя ${\displaystyle F}$ полученным ранее выражением для силы, получим

${\displaystyle P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).}$

С другой стороны, мощность можно вычислить как потерю энергии воздушным потоком за единицу времени:

${\displaystyle P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).}$

Заменяя ${\displaystyle {\dot {m}}}$ выражением, найденным ранее из условия непрерывности, получим

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}).}$

Приравниваем друг другу оба выражения:

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}).}$

Сокращаем общие множители и преобразуем полученное выражение:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=v(v_{1}-v_{2});}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2});}$

${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}(v_{1}+v_{2}).}$

Таким образом, скорость потока воздуха в роторе равна среднему арифметическому скоростей до и после него.

Возвратимся в выражению для мощности через кинетическую энергию:

${\displaystyle {\dot {E}}={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}^{3}+v_{1}^{2}v_{2}-v_{1}v_{2}^{2}-v_{2}^{3})}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).}$

Зависимость коэффициента C_p (вертикальная ось) от v₂/v₁"

Дифференцируя последнее выражение по ${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}}$ при постоянных ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle S}$ и приравнивая полученное выражение к нулю, находим, что ${\displaystyle {\dot {E}}}$ имеет экстремум (максимум) при ${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}$.

Подставляя этот результат в выражение для мощности, получим

${\displaystyle P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$

Запишем последнее выражение как

${\displaystyle P=C_{\text{p}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$

Полная мощность потока воздуха с сечением ${\displaystyle S}$ и скоростью ${\displaystyle v_{1}}$ равна

${\displaystyle P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$

Таким образом, ${\displaystyle C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}}$ — это «коэффициент мощности»[6], который показывает, какую максимальную долю мощности падающего потока забирает ротор ветрогенератора. Он равен ${\displaystyle C_{\text{p}}={\tfrac {16}{27}}=0,593}$, то есть КПД ветрогенератора не может превышать 59,3%.

Современные большие ветрогенераторы достигают значений ${\displaystyle C_{\text{p}}}$ 0,45 ... 0,50[7], то есть 75–85% от максимально возможного значения. При высокой скорости ветра, когда турбина работает на номинальной мощности, угол наклона лопастей увеличивают, тем самым уменьшая ${\displaystyle C_{\text{p}}}$, чтобы избежать повреждения ротора. При увеличении скорости ветра с 12,5 до 25 м/с мощность ветра возрастает в 8 раз, соответственно, при ветре 25 м/с необходимо снизить ${\displaystyle C_{\text{p}}}$ до 0,06.