Задача о мятом рубле

Задача о мятом рубле, или задача о салфетке Маргулиса, — задача о математике оригами, первая задача в списке задач Арнольда.

Формулировка

Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги в плоскую фигуру с периметром больше, чем у исходного прямоугольника? Рвать и резать бумагу, разумеется, нельзя.

В математически точной формулировке требуется уточнить, что значит «сложить». В зависимости от этого уточнения, ответом может быть «да», «нет» или «неизвестно».

Сгибание и отгибание

Например, если считать, что после каждого складывания лист бумаги склеивается с собой, то несложно доказать, что при каждом складывании периметр уменьшается, в частности, его нельзя увеличить. Однако, если рассмотреть сгибание и отгибание листа, как показано на рисунке, то легко видно, что при отгибании периметр увеличивается, хотя и остаётся меньше периметра исходного квадрата. Неизвестно, можно ли увеличить периметр, пользуясь только сгибаниями и отгибаниями.

Тем не менее, если разрешить одновременно сгибать лист вдоль нескольких складок, то увеличить периметр, оказывается, можно[1]. Подобные сложные складки распространены в оригами, и именно оригамисты первыми сумели продвинуться в решении задачи. С одной стороны, в оригами часто растягивают или сжимают бумагу, что недопустимо в математической формулировке. С другой стороны, идеальная математическая «бумага» не имеет толщины, и даже большие «сэндвичи» можно свободно складывать[1].

История

Этот вопрос часто называют фольклорным, но, по-видимому, он был впервые сформулирован Арнольдом в 1956 году[2]. На Западе задача стала известна под названием «задача о салфетке Маргулиса».

Основной шаг в частичном решении задачи был сделан оригамистами[3]. Частичные решения были предложены Крат[4], Лэнгом[5], Ященко[6]. Наиболее полное решение было представлено Тарасовым[7].

Примечания
  1. Антон Айзенберг. Задача о мятом рубле, Научно-популярные задачи на «Элементах»: Математика.
  2. В. И. Арнольд. Задача 1956-1 // Задачи Арнольда. — Фазис, 2000. — С. 2. — 454 с. — ISBN 5-7036-0060-X.
  3. The Margulis Napkin Problem. The geometry junkyard.
  4. S. Krat, Approximation Problems in Length Geometry, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University, 2005
  5. R. Lang, Origami Design Secrets; AK Peters, Ltd., 2003
  6. I. Yaschenko. Make Your Dollar Bigger Now!!! (неопр.) // Math. Intelligencer. — 1998. — Т. 20, № 2. — С. 36—40. — doi:10.1007/BF03025296.
  7. А. Тарасов. Решение задачи Арнольда о «мятом рубле» // Чебышевский сборник. — 2004. — Т. 5, вып. 1. — С. 174—187. Архивировано 20 августа 2014 года.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.